с геометрией 8 класс. от ​

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(2;3), B(1;0), C(5;3).

Эту задачу можно решить двумя

- 1) геометрическим,

- 2) векторным.

1) Находим длины сторон.

АВ                 ВС           АС  

√10 ≈ 3,16228    5           3.

Применяем теорему косинусов.

Косинусы углов      

Угол А           Угол В         Угол С  

-0,316227766     0,822192192       0,8.

По полученным косинусам находим углы в градусах:

А = 108,4349488    В = 34,69515353       С = 36,86989765.

2) Находим векторы,

Координаты векторов      

    АВ             ВА      ВС  

-1      -3      1     3             4     3

СВ          АС         СА  

-4    -3       3    0            -3       0 .

Используем скалярное произведение векторов и длины х как длины сторон треугольника.

cos A = AB*AC/|AB| = (-1*3 + -3*0)(√10*3) = -1/√10 ≈ -0,316227766.

Аналогично находим косинусы углов В и С и значения углов.

Косинусы углов      

Угол А                    Угол В         Угол С  

-0,316227766     0,822192192       0,8  

Углы между векторами      

1,892546881          0,605544664             0,643501109       радиан  

108,4349488          34,69515353           36,86989765  градусов

 

 

 

 

Пусть АВ-хорда окружности, а точка О-её центр. Угол АОВ= 120 градусов (по условию). 
Рассмотрим треугольник АОВ, он равнобедренный, угол АОВ=120 градусов, а два других угла равны (180-120):2=30 градусов. 
По теореме синусов АО/синус угла АВО=АВ/синус угла АОВ, откуда R=АО=синус 30 градусов*12корней из 3:синус угла АОВ. R=12. 

По формуле длины дуги окружности находим: 
L=число пи*R*120:180=3,14*12*120:180=25,12 (приблизительно, так за число пи берём округлённое его значение). 
Площадь кругового сектора S=число пи*R в квадрате*120:360=3,14*144*120:360=150,72