В прямоугольном треугольнике MNK с прямым углом K известно что KM = 20, KN = 21, найти: 1. MN 2. Высоту, опущенную на гипотенузу 3. радиус вписанной окружности 4. радиус описанной окружности 5. площадь треугольника. 6. Синус большего острого угла 7. косинус меньшего острого угла 8. Тангенс угла, внешнего к ∠M 9. Синус угла внешнего к ∠N 10. Медиану NP 11. Медиану KO 12. Расстояние от точки M до прямой NK

Хорошо, давайте найдем ответы на каждый из этих вопросов:

1. Для нахождения длины гипотенузы MN в прямоугольном треугольнике можно использовать теорему Пифагора. Она гласит, что квадрат длины гипотенузы треугольника равен сумме квадратов длин двух катетов. В нашем случае, KM и KN являются катетами треугольника, поэтому можно написать следующее:

MN^2 = KM^2 + KN^2
MN^2 = 20^2 + 21^2
MN^2 = 400 + 441
MN^2 = 841
(извлекаем квадратный корень)
MN = √841
MN = 29

Ответ: MN = 29.

2. Высота, опущенная на гипотенузу, разделяет прямой треугольник на два подобных треугольника. Длина высоты может быть найдена, используя свойство подобных треугольников: соотношение длин подобных сторон равно соотношению длин других сторон. В нашем случае, длина высоты, обозначим ее H, и длина гипотенузы MN находятся в соотношении, равном соотношению длин KN и KM. Таким образом, можно записать:

H / MN = KN / KM
H / 29 = 21 / 20
H = (29 * 21) / 20
H = 30.45

Ответ: Высота, опущенная на гипотенузу, ≈ 30.45.

3. Радиус вписанной окружности можно найти, используя формулу радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, которая гласит: радиус = (периметр треугольника) / (2 * полупериметр треугольника). Для начала найдем периметр треугольника, который равен сумме длин всех его сторон:

Периметр = KM + KN + MN
= 20 + 21 + 29
= 70

Затем найдем полупериметр треугольника, который равен половине периметра:

Полупериметр = Периметр / 2
= 70 / 2
= 35

И, наконец, найдем радиус вписанной окружности:

Радиус = Периметр / (2 * полупериметр)
= 70 / (2 * 35)
= 70 / 70
= 1

Ответ: Радиус вписанной окружности = 1.

4. Радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике можно найти, используя формулу радиуса описанной окружности, которая гласит: радиус = (гипотенуза) / 2. В нашем случае, гипотенуза треугольника равна MN, поэтому:

Радиус = MN / 2
= 29 / 2
= 14.5

Ответ: Радиус описанной окружности ≈ 14.5.

5. Площадь треугольника может быть найдена, используя формулу для площади прямоугольного треугольника, которая гласит: площадь = (произведение длин катетов) / 2. В нашем случае, длины катетов равны KM и KN, поэтому:

Площадь = (KM * KN) / 2
= (20 * 21) / 2
= 10 * 21
= 210

Ответ: Площадь треугольника = 210.

6. Для нахождения синуса большего острого угла воспользуемся соотношением между синусом угла и отношением противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае, противолежащей стороной большего острого угла является сторона MN, а гипотенузой - сторона KM. Таким образом:

sin(больший острый угол) = MN / KM
= 29 / 20
= 1.45

Ответ: sin(больший острый угол) ≈ 1.45.

7. Косинус меньшего острого угла воспользуемся соотношением между косинусом угла и отношением прилежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае, прилежащей стороной меньшего острого угла является сторона MN, а гипотенузой - сторона KM. Таким образом:

cos(меньший острый угол) = MN / KM
= 29 / 20
= 1.45

Ответ: cos(меньший острый угол) ≈ 1.45.

8. Тангенс угла, внешнего к ∠M, можно найти с помощью формулы для тангенса. Тангенс угла равен отношению противолежащей стороны к прилежащей стороне. В нашем случае, противолежащей стороной угла, внешнего к ∠M, является сторона KN, а прилежащей стороной - сторона MN. Таким образом:

tan(угол, внешний к ∠M) = KN / MN
= 21 / 29
≈ 0.724

Ответ: tan(угол, внешний к ∠M) ≈ 0.724.

9. Для нахождения синуса угла, внешнего к ∠N, воспользуемся соотношением между синусом угла и отношением противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае, противолежащей стороной угла, внешнего к ∠N, является сторона KM, а гипотенузой - сторона KN. Таким образом:

sin(угол, внешний к ∠N) = KM / KN
= 20 / 21
≈ 0.952

Ответ: sin(угол, внешний к ∠N) ≈ 0.952.

10. Медиана NP делит сторону KM пополам и проходит через противоположный ей угол MNK. Поскольку треугольник является прямоугольным, медиана NP будет проходить через прямую, делящую гипотенузу на две равные части и перпендикулярную ей. Длина медианы может быть найдена, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника NKP. В нашем случае, длины катета NP и гипотенузы MK являются известными:

NP^2 = MK^2 - MP^2
NP^2 = KM^2 - MP^2
NP^2 = 20^2 - (20/2)^2
NP^2 = 400 - 100
NP^2 = 300
(извлекаем квадратный корень)
NP = √300
NP = 17.32

Ответ: Медиана NP ≈ 17.32.

11. Медиана KO также делит сторону MK пополам и проходит через противоположный ей угол MNK. Так как треугольник прямоугольный, медиана KO будет проходить через прямую, делящую гипотенузу на две равные части и перпендикулярную ей. Длина медианы может быть найдена, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MNK. В нашем случае, длины катета KO и гипотенузы NK являются известными:

KO^2 = NK^2 - NO^2
KO^2 = KN^2 - (KN/2)^2
KO^2 = 21^2 - (21/2)^2
KO^2 = 441 - 220.5
KO^2 = 220.5
(извлекаем квадратный корень)
KO ≈ √220.5
KO ≈ 14.85

Ответ: Медиана KO ≈ 14.85.

12. Расстояние от точки M до прямой NK может быть найдено путем построения перпендикуляра от точки M к прямой NK. Этот перпендикуляр будет являться высотой, опущенной из точки M. Для нахождения расстояния от точки M до прямой NK можно использовать формулу для расстояния от точки до прямой в декартовой системе координат. В нашем случае, можно взять одну точку на прямой NK (например, точку K) и взять другую точку на построенной высоте (например, точку M). Тогда:

Расстояние = | x1 - x2 |
Расстояние = | 0 - (0 + 20) |
Расстояние = 20

Ответ: Расстояние от точки M до прямой NK = 20.