На рисунку точка О центр правильного трикутника АВС за стороною а. Знайдіть довжину відрізка ОВ

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. 

По т.Пифагора с²=a²+b², где с - гипотенуза, a и b – катеты. 

с=√(9²+12²)=15

R=15:2=7,5 см 

Подробно. 

Центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении срединных перпендикуляров к его сторонам.  

Срединные перпендикуляры  прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы, следовательно  центр описанной окружности  - середина гипотенузы, и  радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. R=7,5 см. 

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:
К и М - середины боковых сторон трапеции ABCD, КМ - ее средняя линия.

Проведем прямую ВМ.
ВМ ∩ AD = N.

CM = MD по условию,
∠BCМ = ∠NDM как накрест лежащие при пересечении параллельных AN и ВС секущей CD,
∠BMC = ∠NMD как вертикальные, ⇒
ΔBMC = ΔNMD по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, ВМ = MN, то есть КМ - средняя линия треугольника ABN, следовательно КМ║AN, а значит и КМ║AD.

Из равенства треугольников следует, что
DN = BC = b, значит AN = AD + BC = a + b,
а KM = AN/2 = (a + b)/2 как средняя линия треугольника ABN.