4. Квадрат вписан в окружность длиной 12π√2. Чему равен периметр квадрата?

РЕШЕНИЕ: Дан куб ABCDA1B1C1D1, в котором диагональ равна 3, умноженное на корень из трёх(AC1=3*(корень из трёх)). Если больше ничего не указано в задаче, то, скорее всего имеется ввиду, что все рёбра куба равны между собой. Если представить чертёж в стандартном виде, то, грубо говоря, получим, что AB=BC=CD=AD=A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=AA1=BB1=CC1=DD1. Из этого следует, что основанием является квадрат(ну, возьмём, например, нижнее основание -- квадрат ABCD). В нём можем провести диагональ AC. Есть формула диагонали квадрата(сторона, умноженная на корень из двух), но если кто её не знает, то можно воспользоваться теоремой Пифагора(квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), то есть сначала принять AB за икс(оно же равно BC и равно CC1), а потом получить: (AB)^2+(BC)^2=(AC)^2. То есть, X^2+X^2=(AC)^2. Отсюда следует, что AC=X, умноженное на корень из двух. Потом рассмотреть Треугольник ACC1. Аналогично всё сделать: (AC)^2+(CC1)^2=(AC1)^2. Получаем: X^2+2*X^2=27 => 3X^2=27 => X^2=9 => X=3=AB=BC=CD=AD=A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=AA1=BB1=CC1=DD1. Площадь(S) полной поверхности куба равна периметру(сумме всех сторон) основания, умноженного на высоту, прибавить две площади основания. В данном случае периметр основания равен 4*AB=4*3=12, а площадь равна AB*AB=3*3=9. Высота равна 3. Значит S=12*3+2*9=36+18=54.

ОТВЕТ: S=54.

Координаты точки М - середины ВС ((3+1)/2, (5-4)/2) = (2, 1/2)
Прямая АМ: (x + 2)/(2 + 2) = (y - 3)/(0,5 - 3)
(x + 2)/4 = (y - 3)/(-2,5)
(x + 2)/8 = (y - 3)/(-5)
Высота AN - это прямая, перп. к ВС и проходящая через А
(BC) = (x - 1)/(3 - 1) = (y + 4)/(5 + 4)
(x - 1)/2 = (y + 4)/9
(AN): (x + 2)/9 = (y - 3)/(-2)
Угол (AM, AN)
cos fi = (8*9 + (-5)(-2)) / (sqrt(8^2+5^2)*sqrt(9^2+2^2) =
= (72 + 10) / (sqrt(64+25)*sqrt(81+4) = 82/sqrt(89*85)
Координаты N как точки пересечения AN и BC
{ (x - 1)/2 = (y + 4)/9
{ (x + 2)/9 = (y - 3)/(-2)

{ 9(x - 1) = 2(y + 4)
{ -2(x + 2) = 9(y - 3)

{ 9x - 2y - 17 = 0
{ 2x + 9y - 23 = 0

{ 81x - 18y - 153 = 0
{ 4x + 18y - 46 = 0
85x - 199 = 0
x = 199/85
y = (46 - 4x)/18 = (46*85 - 4*199)/(18*85) = 3114/(18*85) = 173/85
Высота AN = sqrt((199/85 + 2)^2 + (173/85 - 3)^2) =41/sqrt(85)
Основание ВС = sqrt((3 - 1)^2 + (5 + 4)^2) = sqrt(2^2 + 9^2) = sqrt(85)
Площадь S = AN*BC/2

S=41/sqrt(85) *sqrt(85)/2   = 41/2 =20.5

sqrt -это кв корень!