Обчисліть площу ромба, якщо його сторона дорівнює 5 см, а сума діагоналей - 14 см

Дан ромб ABCD; AB=5см; AC+BD=18см.

Найти S(ABCD).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть AC∩BD=O.

AO+BO = AC:2+BD:2 = (AC+BD):2 = 18см:2 = 14см

ΔABO - прямоугольный (∠O=90°). Пусть AO=x см, тогда BO=14-х см

По теореме Пифагора:

AO²+BO² = AB² ⇒ x²+(14-x)²=100²

2x²-28x+96 = 0;   x²-14x+48 = 0;   x(x-8)-6(x-8) = 0;   (x-8)(x-6) = 0

x=6 или x=8

Если AO=6см, то ВО=8см, АС=12см, BD=16см

Если АО=8см, то ВО=6см, АС=16см, BD=12см

Получается ABCD это ромб с диагоналями, равными 16см и 12см.

Площадь ромба равна полупроизведению его диагоналей.

S(ABCD) =  = 16·12:2 см² = 8·12 см² = 96см²

ответ: 96см².

Объяснение:

В прямоугольном треугольнике ACB (∠С=90°) проведена высота CD.Гипотенуза AB равна 10 см, ∠CBA=30°.Найдите BD .

Дано : ΔABC

∠ACB =90° ;

СD ⊥ AB ;

AB =10 см ;

∠CBA = 30°.

- - - - - - -

BD - ?  

- - - - - - можно  решать разными но

AC = AB/2 =10/2 = 5 (см)_как катет лежащий против угла  ∠CBA=30°

AB² = AC²+СB²  ( теорема Пифагора)

CB² = AB² -AC² =10² -5² =75             СB=√75 = 5√3 (см)

Но  CB²  =AB*BD (пропорциональные отрезки в прямоугольном Δ -е)

BD = CB²/ AB  =75/ 10  =7,5 (см )        ответ : 7,5 см .

2-ой

∠ACD = ∠CBA = 30° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами) следовательно

AD = AC/ 2  (опять как катет против угла ∠ACD =30° в   ΔADC )

AD =5/2 =2,5 см  ; BD =AB -AD =10 -2,5 =7,5 (см )

см приложение

Дано:

∆АМВ и ∆СМВ - прямоугольные.

ВМ - медиана (СМ = АМ)

МС - 3 см

∠А = ∠С

∠АВМ = 30°

Доказать:

∆АВМ = ∆СВМ.

Решение.

Т.к. ∠С = ∠А => ∆АВС - равнобедренный.

=> ВМ - является и медианой, и высотой, и биссектрисой.

=> ∠АВМ = ∠СВМ = 30° (так как ВМ является биссектрисой)

ЕСЛИ УГОЛ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЯЕТСЯ 30°, ТО НАПРОТИВ ЛЕЖАЩИЙ КАТЕТ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ГИПОТЕНУЗЫ.

МС = МА, по условию.(и так как ВМ - медиана)

=> АВ = ВС = 3 × 2 = 6 см.

Рассмотрим ∆АВМ и ∆СВМ:

АВ = ВС

∠АВМ = ∠СВМ

=> ∆АВМ = ∆СВМ, по гипотенузе и острому углу.

Ч.Т.Д.