Прямоугольник со сторонами 8 и 15 вписан в окружность .Найдите длину окружности .

Если стороны BC = а (считаем эту сторону основанием), AC = b и AB = c, то периметр равен 2*p = (a + b +c);

Отрезок PQ = t = 2,4; точка Р на стороне b, Q на стороне c.

Точки касания вписанной окружности стороны ВС - точка M, стороны АС - точка К, стороны АВ - точка Е.

Точка касания вписанной окружности отрезком PQ - точка Т.

Если обозначить отрезки от вершин до точек касания ВЕ = ВМ = x, СК = СМ = y и АК = АЕ = z, то

a = x + y;

b = x + z;

c = y + z;

Периметр меньшего треугольника (который отсечен заданным отрезком касательной) равен 2*z, поскольку РК = РТ; и QE = QT. 

Отсюда легко видеть, что ПОЛУпериметр отсеченного треугольника равен p - a; (по условию, р = 10)

Поскольку эти треугольники подобны (исходный и отсеченный отрезком касательной), то ПОЛУпериметры относятся так же как стороны, и

(p - a)/p = t/a; 

(10 - a)/10 = 2,4/a;

это легко привести к виду

a^2 - 10*a + 24 = 0; 

a = 4 или 6.

Получилось 2 решения. :(

 

1) Я долго сомневался, как лучше сделать, и все-таки решил не выводить здесь известные свойства внешних и внутренних касательных к двум окружностям. Просто перечислю то, что нужно знать для решения этой задачи. Найдите в учебниках или докажите сами.

LD = NP = KQ;

кроме того, равны и "кусочки" этих отрезков:

LN = LW = DZ = DQ; DK = DW = LZ = LP;

(некоторые, я в том числе, испытывают серьезные трудности восприятия этих равенств, когда впервые с ними сталкиваются, особенно с учетом того, как просто они получаются)

2) BZ = BF = BL + LZ = BL + DK; аналогично BT = BW = BL + DQ;

=> BL + DK + BL + DQ + CT + AF + AC = 2p; (как всегда, p - полупериметр ABC)

CT + AF = AC - QK;

=> 2*BL + QK + 2*AC - QK = 2p;

=> BL = p - AC = (AB + BC - AC)/2 = 2; это в точности равно радиусу вписанной в ABC окружности.