1. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите длины сторон треугольника, если его основание в 2 раза меньше боковой стороны. 2. В равнобедренном треугольнике с основанием АС провели высоту ВД. Найдите её длину, если периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр треугольника АВД – 40 см. 3. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки N и М так, что угол МАВ равен углу NСВ. Докажите, что АN=СМ.​

№1

х см - основание

2х см - боковые стороны

х+2х+2х=70  

5х=70

х=14(см) - основание

14*2=28(см) - боковая сторона

ответ: 14, 28 и 28см

№2

ПУСТЬ АВ=ВС= а.

ВD ⊥ АС ⇒  АD =DC =х

Тогда Р (Δ АВС) =АВ+ВС+АС=а+а+х+х= 2а+2х= 2(а+х)

50 = 2 (а+х) ⇒ а+х = 25

Р (Δ АВD)= АВ+ВD + AD=а+ВD+х=BD+ (а+х)

BD=40-(a+x)=40-25=15

№3

NAK=MCK по двум равным углам. угол NKA=углу MKC - как вертикальные и угол MAB=углуNCB - по условию. (K-точка пересечения AM и NC)

Решить треугольник - найти его характеристики по заданным условиям. Нам надо найти угол BAC, стороны AC и AB.
Найдём угол BAC:
BAC = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°
По теореме синусов найдём сторону AC:
(BC)/(sinBAC) = (AC)/(sinABC);
(3√2)/(√2/2) = (AC)/(1/2);
AC = (3√2 * 1/2)/(√2/2) = 3√2 * 1/2 * 2/√2 = (3√2)/(√2) = 3 см
По той же теореме синусов найдём сторону AB:
(AC)/(sinABC) = (AB)/(sinBCA);
sin105° = sin(50+50+5) = 0.766 + 0.766 + 0.0871 = 1.6191
(3)/(1/2) = (AB)/(1.6191);
AB = (3 * 1.6191)/(1/2) = 3 * 1.6191 * 2 = 9.7146 ≈ 10 см
ответ: угол BAC = 45°; AC = 3 см; AB = 10 см

1) Два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая)
2) Пусть угол LON и угол DON –данные смежные углы, луч OD проходит между сторонами OL и ON развернутого угла LON. Поэтому сумма угола LON и угола DON равна развернутому LON,то есть, равна 180 градусам.
3) 

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a1b) и (c1d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a2b) и (c2d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a1b + a2b = 180° и c1d + c2d = 180°. Отсюда, a2b = 180° - a1b и c2d = 180° - c1d. Так как углы (a1b) и (c1d) равны, то мы получаем, что a2b = 180° - a1b = c2d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a2b = c2d. Что и требовалось доказать.
4)  Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.
5)Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° - 90°, x = 90°.