Площа трикутника дорівнює 20^ см. Знайдіть площу трикутника, який середня лінія відтинає від даного трикутника.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
Допустим: 
а - боковая сторона равнобедренного треугольника
с -  основание  равнобедренного треугольника
Треугольник существует , если сумма любых двух его сторон больше третьей.
Для равнобедренного треугольника справедливы два условия:
а+а > с    ⇒ 2а > c
a+c  > a

a)
I.  а=3 см ;  c= 6 см
2*3 = 6  ⇒  6 = 6
3+6 = 9  ⇒  9 > 3
данного треугольника не существует.
II.  а= 6 см ; с = 3 см
2*6 = 12   ⇒  12 > 3
6 + 3 = 9   ⇒  9 > 6
данный треугольник существует.
ответ:  6 см.

б)
I.  а= 8 см ; с=2 см
2*8 = 16  ⇒   16 >2
8 + 2 = 10 ⇒  10 >8
данный треугольник существует.
II. а=2  см ;  с= 8 см
2*2 = 4   ⇒   4 < 8
2+8 = 10 ⇒ 10 > 2
данного треугольника не существует.
ответ: 8 см.

Відповідь:

3 см

Пояснення:

Відомо, що коло, вписане в трикутник, точками дотику до сторін відділяє рівні відрізки зі сторони кожної вершини.

Також відомо, що висоти - радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.

Згідно з умовою, позначимо AF як 2x, FB як 3x, тоді

r=9-2x

За теоремою Піфагора складемо рівняння:

9²+ (9-2х+3х)²=(2х+3х)²

81+(9+х)²=25х²

81+81+18х+х²-25х²=0

24х²-18х-162=0

4х²-3х-27=0

Дискрімінант: Д=9+4*4*27=441=21²

х₁=(3+21)/8=3 см

х₂=(3-21)/8=-2.25 см (не підходить).

Тоді r=9-2·3=3 см