В треугольнике ABC проведены биссектриса CD и отрезок DP, параллельный AB. Точка P расположена на стороне BC. BC=13, AD=15, BD=10. Найдите длины отрезков AC, DP и CP​

Дан прямоугольный ΔABC с прямым углом B. BO - медиана, проведенная из вершины прямого угла. Опишем около ΔABC окружность. Тогда гипотенуза AC будет являться диаметром окружности, так как вписанный угол ABC является прямым, то он опирается на диаметр окружности.

Медиана в треугольнике является отрезком, опущенным из вершины треугольника на середину противолежащей стороны. BO делит AC пополам. BO соединяет точку на окружности и центр окружности - тч.О, т.е. является радиусом окружности.

Отрезки BO = AO = OC  -  являются радиусами одной и той же окружности. ⇒ BO = AC/2.

На сто­ро­не BC ост­ро­уголь­но­го треугольника ABC (AB ≠ AC) как на диа­мет­ре построена полуокружность, пе­ре­се­ка­ю­щая высоту AD в точке M, AD = 32, MD = 8, H — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC. Най­ди­те AH.

Решение.

Проведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на рисунке. Угол — вписанный, опи­ра­ю­щий­ся на диаметр, по­это­му он равен 90°. Значит, точка пе­ре­се­че­ния пря­мых и — точка пе­ре­се­че­ния высот Про­дол­жим вы­со­ту до пе­ре­се­че­ния с окруж­но­стью в точке Получаем, что По тео­ре­ме о се­ку­щих получаем, что Тре­уголь­ни­ки и — прямоугольные, угол — общий, следовательно, эти тре­уголь­ни­ки подобны, откуда:

ответ: 30.