У трикутник авс вписано коло З центром О . К, М , Р, - точки дотику відповідно сторін ав , вс і ас . Доведіть що ак + вм = Вк + ар .

Один из углов равнобедренного треугольника равен 108 градусов. Найти соотношение длин двух биссектрис неравных углов.

Сделаем рисунок. 

Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС

Углы при основании АС равны (180º -108º):2=36º, значит, нужно найти соотношение длин биссектрис  ∠В и∠С, т.к. они не равны. 

Биссектрисы  ВН и СК делят углы пополам. 

∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВСК=36:2=18º

В ∆ ВКС ∠ ВКС=180º-108º-18º=54º

 ∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВКС=∠ КВО ⇒

∆  КОВ - равнобедренный. 

Проведем НМ параллельно АВ. 

∠ ВНТ=∠КВН=54º как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей 

углы КТН = ВКТ=54º  на том же основании ⇒

∆ НОТ - равнобедренный. 

ВН=ВО+ОН, КТ=КО+ОТ и оба состоят из суммы равных отрезков. ⇒

ВН=КТ. 

НМ || АВ по построению,  а АН=НС по условию.⇒

НМ - средняя линия и делит СК пополам. 

ТС=ТК=ВН

СК= 2 ВН

СК:ВН=2:1. 

Один из углов равнобедренного треугольника равен 108 градусов. Найти соотношение длин двух биссектрис неравных углов.

Сделаем рисунок. 

Пусть данный треугольник АВС, АВ=ВС

Углы при основании АС равны (180º -108º):2=36º, значит, нужно найти соотношение длин биссектрис  ∠В и∠С, т.к. они не равны. 

Биссектрисы  ВН и СК делят углы пополам. 

∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВСК=36:2=18º

В ∆ ВКС ∠ ВКС=180º-108º-18º=54º

 ∠ КВО=108º:2=54º

∠ ВКС=∠ КВО ⇒

∆  КОВ - равнобедренный. 

Проведем НМ параллельно АВ. 

∠ ВНТ=∠КВН=54º как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей 

углы КТН = ВКТ=54º  на том же основании ⇒

∆ НОТ - равнобедренный. 

ВН=ВО+ОН, КТ=КО+ОТ и оба состоят из суммы равных отрезков. ⇒

ВН=КТ. 

НМ || АВ по построению,  а АН=НС по условию.⇒

НМ - средняя линия и делит СК пополам. 

ТС=ТК=ВН

СК= 2 ВН

СК:ВН=2:1.