Катеты прямоугольного прямоугольника равны 30 и 40 см. найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности ))

Сторона вписанного правильного многоугольника образует с радиусами описанной около него окружности равносторонний треугольник.

В нашем случае это треугольник с боковыми гранями, одинаковыми 43 и основанием, одинаковым 12см. По аксиоме косинусов найдем угол при верхушке этого треугольника:

Cos = (b+c-a)/2bc. ( - меж b и c). В нашем случае:

Cos=(2*(43)-12)/(2*43)=-48/(2*48)=-(1/2).

То есть центральный угол тупой и равен 120.

Как следует, число сторон нашего вписанного многоугольника равно 360/120=3. Это ответ.

P.S. Можно проверить по формуле радиуса описанной около правильного треугольника окружности: R=(3/3)*a. В нашем случае

R=(3/3)*12=43, что подходит условию задачки.

Объяснение:

1) Рассмотрим ΔADC и ΔСВЕ

АС = СВ  и CD = СЕ по условию,

∠ACD = ∠ACB + ∠BCD

∠BCE = ∠DCE + ∠ BCD

Т.к. оба Δ-ка равносторонние, а равностороннем все углы равны, то

∠ВСА = ∠АВС = ∠ВАС = 108°/3 =60° ( ΔАВС)

∠DCE = ∠CED = CDE = 60° (ΔCDE).     Тогда

∠ACD = 60° + ∠BCD и

∠BCE = 60° + ∠ BCD,  т.е.

∠ACD = ∠BCE

ΔADC = ΔСВЕ по 2-м сторонам и углу между ними, следовательно,

∠DAC = ∠CBE или ∠ОАС = СВО

2) Рассмотрим ΔАВО.

Сумма углов Δ-ка = 180°:

∠ВАО + ∠АВО + ∠АОВ = 180° →  ∠АОВ = 180°- ∠ВАО - ∠АВО

∠ВАО = ∠ВАС - ∠ОАС = 60° - ∠ОАС

∠АВО = ∠АВС + ∠СВО = 60° + ∠СВО

∠АОВ = 180°- (60° - ∠ОАС)  - (60° + ∠СВО) =

= 180° - 60° - 60° + ∠ОАС- ∠СВО = 60° +∠ОАС- ∠СВО

Но ∠ОАС =∠СВО, поэтому

∠АОВ = 60°