Найдите диаметр окружности, если радиус равен 5, 6 см. * Найдите радиус окружности, если диаметр равен 9, 6 см. * 1)Найдите градусную меру центрального угла окружности, если вписанный угол этой окружности, опирающийся на ту же дугу равен 60°. * 2)В прямоугольный треугольник со сторонами 21 см, 28 см и 35 см вписана окружность. Найдите ее радиус. * 3)Около прямоугольного треугольника со сторонами 21 см, 28 см и 35 см описана окружность. Найдите ее радиус. * 4)На рисунке ∠АОК=37°.. Найдите ∠ОКА 5)На рисунке точка О - центр окружности, ∠АВС = 32°. Найдите ∠АОС. 6)Радиусы двух окружностей равны 9 см и 13 см. Найдите расстояние между их центрами, если они имеют внутреннее касание. * 7)Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник делит его боковую сторону на отрезки 2 см і 7 см, считая от вершины при основании. Найдите периметр треугольника. 8)На рисунке КР-касательная к окружности с центром в точке. Найдите ∠OMN, если∠KMN=125° 9)В окружности провели диаметр АВ и хорды AC и CD так, что AC=13 см, ∠ ВАС = 30°, AB ┴ CD . Найдите длину хорды CD.

Точка D проецируется в центр описанной окружности, так как она равноудалена от вершин треугольника. В правильном треугольнике центры описанной и вписанной окружности совпадают и лежат на пересечении медиан треугольника, то есть делят медиану (высоту, биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины. Причем (1/3) медианы - это радиус вписанной окружности, а (2/3)медианы - радиус описанной окружности. В нашем случае (1/3) = 3 см. Тогда (2/3) = 6см. Из прямоугольного треугольника, образованного расстояниями от точки D до плоскости треугольника и радиусом описанной окружности (катеты) и расстоянием от точки D до вершин треугольника (гипотенуза) найдем искомое расстояние:

d = √(4²+6²)=√52 = 2√13см. Это ответ.

ЗАДАНИЕ 1

Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.  

Проведем через вершину пирамиды S плоскости, перпендикулярные ребрам двугранных углов пирамиды, то есть плоскости, перпендикулярные сторонам основания пирамиды и, следовательно, перпендикулярные самому основанию.

Тогда у всех этих плоскостей имеются две общие точки: вершина пирамиды S и ее проекция на основание пирамиды точка О. То есть эти плоскости пересекаются по прямой SO, являющейся высотой пирамиды. Линии пересечения этих плоскостей и пирамиды - это высота боковой грани и перпендикуляр из точки О основания высоты пирамиды к стороне основания пирамиды. Этот перпендикуляр - проекция высоты боковой грани на плоскость основания и в силу равенства двугранных углов (дано) одинаков для всех проведенных плоскостей, так как тангенс этих углов равен отношению высоты пирамиды к проекции высоты боковой грани. Итак, точка основания высоты пирамиды в нашем случае равноудалена от сторон основания пирамиды, следовательно, расстояние от этой точки до стороны основания пирамиды является радиусом вписанной в основание пирамиды окружности, что и требовалось доказать.  

ЗАДАНИЕ 2.

Основание правильной пирамиды SABCD - квадрат ABCD со стороной "а". Его площадь равна а². Значит площадь диагонального сечения равна а²/2 (дано). Диагональное сечение правильной пирамиды - равнобедренный треугольник ASC с основанием - диагональю квадрата, равной а√2. Площадь диагонального сечения S=(1/2)*АС*SO (SO - высота пирамиды). Итак, (1/2)*а√2*SO = а²/2. Тогда

SO = (а²/2)/(а√2/2) = a√2/2. В прямоугольном треугольнике SOA катет АО - половина диагонали АС.  АО=a√2/2. Значит треугольник SOA - равнобедренный и <A = 45°. Тогда в равнобедренном треугольнике ASC углы при основании равны по 45°, а угол при вершине равен 90°. Значит стороны AS и SC взаимно перпендикулярны.

AS и SC - противоположные ребра пирамиды. Они перпендикулярны. Что и требовалось доказать.