Через сторону AC трикутника ABC проведено площину бета на відстані 24 см від вершини B, AB =25 см, CB=26см. Знайти довжини проекцій сторін трикутника на площину бета.

АВС - основание пирамиды

S - вершина

О - середина основания

SO - высота = 9√3

АВ=ВС=АС= 9√3

SA - ?

Найдём длину АО:

АО = 1/2 * АP

где АР - высота треугольника АВС

Найдем площадь треугольника:

S = a²√3/4 = (9√3)²*√3/4 = 243√3 /4 см²

Также площадь треугольника находится через высоту:

S = 1/2 * a * h

Найдём отсюда высоту:

243√3 /4 = 1/2 * 9√3 * h

1/2 * h = 81/4

h = 81/2 см

AO = 1/2 * 81/2 = 81/4 см

По теореме Пифагора:

SA² = AO²+SO²

SA² = (81/4)² + (9√3)²

SA² = 6561/16 + 243

SA² = 10449/16

SA = √10449/4

ответ: √10449/4 см

1) Находим радиус вписанной окружности, а для этого по формуле Герона находим площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
р = (6+7+5)/2 = 9
S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) =  √216  = 14.69693846
r = S / p =  14.69693846 / 9 =  1.63299316.
Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности.
Найдем высоту треугольника АВС:
Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 =  4.1991253.
Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса:
hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 =  0.93313895
Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb =  0.9331389 / 4.1991253 =  0.22222222,
к² =  0.04938272. 
Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 =  0.725774739 кв.ед.
А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 =
= 18*0.22222222 = 4.
2) В этой задаче не улавливается зависимость между заданными площадями треугольников.
3) В этой задаче что то неверно в условии.
Если  диаметр , проходящий через вершину В, делит хорду KL пополам, то эта хорда перпендикулярна диаметру. При этом она не пересекает сторону ВС - смотри прилагаемый чертёж.