Диагональ BD параллелограмма ABCD образует углы по 45 градусов со стороной BC и высотой , проведённой из вершины D к стороне AB . Найдите градусную меру угла ACD

Докажем, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, то этот треугольник — прямоугольный.

Утверждение.

Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то угол напротив этой стороны равен 90º.

Дано:

∆ABC,

CO — медиана,

CO=1/2 AB

Доказать: ∠ACB=90º.

Доказательство.

1) Так как CO — медиана треугольникаABC и CO=1/2 AB (по условию), то CO=AO=BO.

Поэтому, треугольник AOC — равнобедренный с основанием AC,

треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по определению равнобедренного треугольника).

2) Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны,
∠OAC=∠OCA,

∠OBC=∠OCB.

Пусть ∠OAC=OCA=φ.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике AOC

∠AOC=180º-(∠OAC+∠OCA)=180º-2φ.

3) ∠AOC+∠BOC=180º (как смежные).

Поэтому, ∠BOC=180º-∠AOC=180º-(180º-2φ)=180º-180º+2φ=2φ.

4) В треугольнике BOC

∠OBC=∠OCB=(180º-∠BOC):2=(180º-2φ):2=90º-φ.

5) ∠ACB=∠OCB+∠OCA=90º-φ+φ=90º.

Что и требовалось доказать.

Пусть имеем треугольную пирамиду SABC.
Вертикальное ребро SA - высота пирамиды, равна 8√3 см.
SД - высота наклонной боковой грани,
АД - высота основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SАД.
По заданию угол SАД равен 30 градусов.
Тогда высота АД = SA/(tg 30) = 8√3/(1/√3) = 8*3 = 24 см.
Высота SД = SА/(sin 30) = 8√3/(1/2) = 16√3 см.
Площадь основания So = (1/2)*12*24 = 144 см².
Боковое ребро основания равно:
АС = √(24²+6²) = √(576 + 36) = √612 = 6√17 см.
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = 2*(1/2)*(6√17)*(8√3) + (1/2)*12*16√3 =
         = 48√51 + 96√3 = 48(√51 + 2√3) см².
Полная площадь поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 144 + 48(√51 + 2√3) см².