Точка дотику кола вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу бічну сторону на відрізки 12 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

ответ: S=162см²

Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д, точки касания К М Е Т,ма центр окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности поэтому отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому АК=ВМ, МС=СЕ, ЕД=ДТ, АК=АТ. Проведём из вершины С высоту ВН к основанию АД. Она делит нижнее основание так что АН= ВС. Проведём через центр окружности диаметр МТ. Получился прямоугольник, в котором МС=ТН=3см. Так как ТД=ЕД=12см, то ДН=ТД-ТН=12-3=9см. ДН=9см. Рассмотрим полученный ∆СДН. Он прямоугольный. В нём СН и ДН являются катетами а СД - гипотенузой. СД=СЕ+ЕД=3+12=15см Найдём катет СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=

=15²-9²=225-81=144; СН=√144=12см

СН=12см. СН также является диаметром вписанной окружности, поэтому АК=ВК=ВМ=АТ=12÷2=6см. Следовательно ВС=6+3=9см;

АД=6+12=18см. Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:

S=(BC+АД)/2×СН=(9+18)/2×12=27/2×12=

=27×6=162см²

Задание сводится к тому, чтобы провести окружность с центром в вершине угла и радиусом, равным четверти отрезка.
Дано:
угол О;
отр АВ
Построить 
ГМТ, равноудаленных от т О на расстояние равное 1/4 АВ

Построение:
1) точка А
2) окр1 (А; АВ)
3) окр2 (В, АВ)
4) окр1 пересек окр 2 в точках К и К1
5) КК пересекает АВ в точке М
6) окр3 (А; АМ)
7) окр4 (М; АМ)
8) окр 3 пересекает окр 4 в точках Р и Р
9) РР1 пересекает АВ в точке С, АС = 1/4 *АВ
10) окр5 (О; АС) - ГМТ, равноудаленных от вершины угла на расстояние 1/4*АВ.

Уравнение прямой АВ:  у=kx+b
Чтобы найти коэффициенты k  и  b подставим координаты точек A и B, получим систему уравнений:
х=4  у=3
3=4k+b    (*)
x=-2  y=0
0=-2k+b    (**)
Вычитаем из уравнения (*) уравнение (**):
3=6k    ⇒    k= 1/2
Прямая, перпендикулярная прямой АВ имеет угловой коэффициент k=-2
Так как произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
у=-2х+b - уравнение прямой, перпендикулярной АВ
Чтобы найти b  подставим координаты точки С
х=2  у=-3
-3=-2·2+b ⇒  b=-3+4=1
ответ. у=-2х+1