Биссектриса, проведенная из острого угла А равнобедренной трапеции АВСD, делит боковую сторону СД точкой Е в отношении 2:3, считая от тупого угла. Биссектриса АЕ пересекает диагональ ВД в точке М и точкой пересечения делит ее пополам. Площадь треугольника MED равна 6. Найдите площадь трапеции.

ответ: 80

Объяснение: Заметим , что площадь треугольника MED  S(MED)=S(BCD)*(MD/BD)*(ED/CD)= 6

Отсюда находим S(BCD)=6/0.5/(3/5)=12/3*5=20

Заметим также, что поскольку АМ в треугольнике АВD  является и биссектрисой и медианой , то треугольник ABD равнобедренный, АВ=AD

Обозначим СЕ=2х, тогда DE =3x, CD=AB=AD=5x

Продлим отрезок АЕ за точку Е до пересечения с прямой BC в точке К

Тогда треугольники СКЕ и DAЕ подобны

CK/AD=CE/DE=2/3

CK=2/3*AD=10x/3

Треугольники ВКМ и DAM равны ( по стороне и двум углам).

BM=MD углы BMK =AMD=90 град ( по условию)

углы МВК=MDA ( накрест лежащие)

Тогда AD=BK=5x

Тогда ВС=ВК-СК=5х-10х/3= 5x/3

S(BCD)= BC*CD*sin(BCD)/2=20

5x/3*5x*sin(BCD)=40

25*x^2*sin(BCD)=120                          

S(ABD)=AB*BD*sin(BAD)/2                (1)

Так как по свойству трапеции BAD=180-ABC  и так как в равнобедренной трапеции АВС=BCD, => sin (BAD)=sin(BCD)

Перепишем (1):

S(ABD)=25*x^2*sin(BCD)/2=120/2 =60

Тогда площадь трапеции S(ABCD)=S(BCD)+S(ABD)=20+60=80

      Отрезки МК и NP параллельны соседним сторонам прямоугольника, => соответственно равны им, пересекаются под прямым углом  и  делят  АВСD на 4 прямоугольника, (неважно,  равной или разной площади).  Обозначим точку пересечения МК и NP буквой О.

а)

 Стороны четырехугольника МNKP являются диагоналями получившихся прямоугольников и делят каждый из них пополам (свойство). Поэтому площадь MNKP равна сумме площадей этих половин, т.е. равна половине площади ABCD.

б)

 Площадь  выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Так как S(ABCD)=AB•CD,   МК=АD и NP=AB, а sin90°=1, то S(MNKP)=MK•NP•sin90°=0,5•S(ABCD).

в)

  S(MNKP)=S∆MNP+S∆NKP=0.5•MO•NP+0.5•KO•NP=0,5•NP•(MO+OK) => S(MNKP)=0,5•NP•MK =>

S(MNKP) =0,5•S(ABCD), т.к. NP=AB и МК=АD

где AA и BB  – некоторые числа. При этом коэффециенты AA и BB одновременно не равны нулю, так как тогда уравнение теряет смысл. 

Если C=0C=0, а AA и BB отличны от нуля, то прямая проходит через через начало координат.

Если A=0A=0, а BB и CC отличны от нуля, то прямая параллельна оси OxOx.

Если B=0B=0, а AA и CC отличны от нуля, то прямая параллельна оси OyOy.

Если B=C=0B=C=0, а AA отличен от нуля, то прямая совпадает с осью OyOy.

Если A=C=0A=C=0, а BB отличен от нуля, то прямая совпадает с осью OxOx.