№4. Дана наклонная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AA₁ - боковое ребро и ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = 60°. Найдите угол между прямой CA₁ и плоскостью CBB₁ , если все рёбра призмы равны между собой.

Искомый угол равен 45°.

Объяснение:

Пусть все ребра  призмы равны 1.

В данной нам наклонной призме  боковые грани АА1С1С и АА1В1В ромбы с острым углом 60° (дано) и грань ВВ1С1С - ромб (все ребра призмы равны).

В ромбах АА1С1С и АА1В1В диагонали СА1 = АА1 и ВА1 = АА1 (как стороны равносторонних треугольников АА1С и АА1В соответственно).  =>

При равных наклонных  СА1, ВА1 В1А1 и С1А1 равны и их проекции:

ВР=РС1=СР=РВ1 =>  ромб ВВ1С1С с равными диагоналями - квадрат и точка А1 проецируется в центр квадрата - точку Р. =>

CР = √2/2 (как половина диагонали квадрата ВВ1С1С.

Тогда sinα = A1P/CA1 = √2/2.

α = 45°.

Или так:

В ромбах АА1С1С и АА1В1В диагонали СА1 = АА1 и ВА1 = АА1 (как стороны равносторонних треугольников АА1С и АА1В соответственно).  =>

При равных наклонных  АА1, А1С и А1В равны и их проекции =>

АО=ВО=СО (точка О - основание перпендикуляра А1О). => точка О - центр описанной окружности правильного треугольника АВС.

Проведем высоты АН и А1Н1 треугольников АВС и А1В1С1.

АН=А1Н1 = (√3/2)·а (по формуле). При а =1 (принято  нами) АН = А1Н1 =√3/2 ед.

АО = (2/3)·АН = √3/3 (по формуле) => В прямоугольном треугольнике А1АО косинус угла А1АО равен cosβ = AO/AA1 = √3/3.

В параллелограмме АА1Н1Н  ∠А1Н1Н = ∠А1АО = β, как противоположные углы.

=> Sinβ = √(1 - 3|9) = √6/3.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.  =>

Опустим перпендикуляр А1Р из точки А1 на плоскость СВВ1С1.

В прямоугольном треугольнике А1РН1 катет

Sinβ = A1P/A1H1 =>

А1Р = А1Н1·Sinβ = (√3/2)·(√6/3) = 3√2/6 = √2/2.

В прямоугольном треугольнике А1РС  

Sinα = А1Р/А1С = (√2/2)/1 = √2/2.  =>

угол α = 45°.

4. Назовём медиану, проведённую из точки B, BD.
Медианы в треугольнике делят друг друга в отношении 2 : 1, считая от вершины, то есть BO : OD = 2 : 1

Так как прямые EF и AC параллельны, то ∠BAC = ∠BEF как соответственные углы.

Рассмотрим ΔABC и ΔEBF
1) ∠B - общий
2) ∠BAC = ∠BEF - из решения
Отсюда следует, что эти треугольники подобны.
Коэффициент подобия будет равен отношению BD и BO
k = BD : BO = 3x : 2x = 3 : 2

Из подобия AC : EF = 3 : 2
15 : EF = 3 : 2
3EF = 30
EF = 10 см

ответ: 10 см

5. Найдём AB по теореме Пифагора: 
AB = √(25 + 75) = √100 = 10 см
Напротив угла в 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы.
AB = 2AC ⇒ ∠ABC = 30°

ответ: 10 см, 30°

6. sinβ = BH : BC
BH = sinβ * BC = 7sinβ
tg α = BH : AH
AH = BH : tgα  = 7sinβ : tgα

ответ: 7sinβ : tgα

A1. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они:

4) не пересекаются

А2. Один из признаков параллельности двух прямых гласит:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

А3. Выберите утверждение, являющееся аксиомой параллельных прямых:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной

А4. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Соответственные углы равны

А5. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то:

Она перпендикулярна и другой

А6. Всякая теорема состоит из нескольких частей:

Условия и заключения

А7. При пересечении двух прямых секущей образуются углы, имеющие специальные названия:

Накрест лежащие, соответственные, односторонние

А8. Аксиома – это:

Положение геометрии, не требующее доказательства

А9. Выберите утверждение, которое является признаком параллельности прямых:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

А10. Если прямая не пересекает одну из двух параллельных прямых, то:

Другую прямую она тоже не пересекает

или

С другой прямой она совпадает