Диагонали ас и bd трапеции авсd пересекаются в точке о. площади треугольников аоd и вос равны соответственно 25 см^2 и 16 см^2. найдите площадь трапеции.

ясно, что диагонали делятся в точке пересечения в отношении 4/5, считая от малого основания. таким образом, стороны ао и od составляют 5/9 от длин диагоналей, которым принадлежат. 

для получения удовольствия от чисто решения проведем из с прямую ii bd до пересечения с ad (обозначим точку е) треугольник асе имеет ту же площадь, что и трапеция, поскольку его основание равно ае = ad + de =  ad + вс, а высота у них общая - расстояние от с до ad.   треугольник ace подобен aod (по построению! ) и отношение сторон у них равно 9/5. следовательно площадь ace (то есть площадь трапеции abcd) равна (9/5)^2*25 = 81.

 

1)

∠с = ∠c1, ∠а = ∠а1, ∠в = ∠в1

во = ос = в1о1 = о1с1, т.к. ао и а1о1 — медианы, и вс = в1с1.

в δаос и δа1о1с1: ас = а1с1, ос = о1с1, ∠с = ∠с1. таким образом, δаос = δа1о1с1 по 1-му признаку, откуда ао = а1о1. 2)

т.к. δавс = δa1b1c1, то: ac = а1с1, ∠a = ∠а1, ∠с = ∠с1.

∠bak = ∠kac = ∠b1a1k1 = ∠k1a1c1, т.к. ak и a1k1 — биссектрисы равных углов.

в δakc и δa1k1c1: ас = а1с1, ∠с = ∠с1, ∠kac = ∠k1a1c1. таким образом, δakc = δa1k1c1 по 2-му признаку равенства треугольников.

откуда ak = a1k1.

т.к. δавс = δa1b1c1, то: ac = а1с1, ∠a = ∠а1, ∠с = ∠с1.

∠bak = ∠kac = ∠b1a1k1 = ∠k1a1c1, т.к. ak и a1k1 — биссектрисы равных углов.

в δakc и δa1k1c1: ас = а1с1, ∠с = ∠с1, ∠kac = ∠k1a1c1. таким образом, δakc = δa1k1c1 по 2-му признаку равенства треугольников.

откуда ak = a1k1.

диагональ прямоугольника (d) и его   стороны (a) и (b) - это прямоугольный треугольник

по условию

a=d-2 cм

b=d-6 см

или наоборот - это неважно

тогда по теореме пифагора

d^2 =(d-2)^2 +(d-6)^2

d^2 -16d+40=0

после решения квадратного уравнения

d1=8-2√6

стороны 

a=8-2√6 -2 =6-2√6

b=8-2√6 -6 =2-2√6   отрицательное значение -не подходит для решения

d2=8+2√6

стороны 

a=8+2√6 -2 =6+2√6

b=8+2√6 -6 =2+2√6

площадь прямоугольника

s= ab   =(6+2√6)(2+2√6)= 36+16√6 или =4(9+4√6)

 

ответ  36+16√6   или   4(9+4√6)