Кут між двома висотами гострокутного трикутника ABC дорівнює 60°. Точка перетину висот поділяє одну з них у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника. Доведіть, що, трикутник ABC – рівносторонній.​

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Катет можно найти по теореме Пифагора: квадрат гипотенузы отнять квадрат другого катета (a^2=c^2-b^2). Гипотенузу же наоборот квадрат катета + квадрат другого катета (c^2=a^2+b^2). Надо иметь в виду что и катет, и гипотенуза тоже будут в квадрате. Также катет с гипотенузой можно с тригонометрических соотношений. sina(альфа)=b/c (b противолежащий катет у нас будет, a прилежащий). cosa(альфа)=a/c. tga(альфа)=b/a=sina/cosa. ctga(альфа)=a/b=cosa/sina.

К сожалению не проходят вложения. Попробую на словах.

а) Из т.К проведем отрезок КР // АС. Тр. ВКР подобен тр. АВС

ВК = АВ/4 (по условию). Значит КР = АС/4 = 15/4, ВР = ВС/4 = 7/4, но ВL = 4,

LC = 3.  Тогда РL = 4 - 7/4 = 9/4.

Переходим к другой паре подобных тр-ов: KPL и LMC.

KP/CM = LP/LC   15/(4CM) = 9/(4*3)   Отсюда:  СМ = 5. Для нахождения последней стороны LM тр. LMC найдем cos LCM = - cosACB = 

= - (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2BC*AC) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.

Теперь по теореме косинусов найдем LM:

LM =кор(LC^2 + CM^2 - 2*LC*CM*cosLCM) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.

Итак в тр-ке LMC известны все стороны:

MC = 5, LC = 3, LM = 6.  Полупериметр: p = 7. Площадь по ф. Герона:

S = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. С другой стороны, S = pr, где r - радиус вписанной окр-ти .  r = (кор56)/7 = (2кор14)/7

ответ: r = (2кор14)/7.

 

б) Найдем координаты точки О - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.А и направив ось Х по AC.

т.О - точка пересечения биссектрис тр. LMC. Проведем ОN перпендик. СМ

ОN = r = (2кор14)/7.

Тр-к СОN: СN = ON/tg(LCM/2)     tg(LCM/2)= sinLCM /(1+cosLCM) = 

= (2кор14)/7.

Тогда CN = 1.

Итак точка О ( и весь вектор АО) имеет координаты (16; (2кор14)/7)

Длина вектора АО = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7

ответ: АО = (30кор14) / 7.