Геометрия, я уже не вывожу заметить, что перпендикулярность OF к AK НЕ ДОКАЗАНА​

Решение.

Так как окружность вписаная, то по свойству вписаной окружности в четырёхугольник ВС+АК=АВ+СК, что равно P:2. Тогда ВС+АК=10:2=5.

ответ: 5.

Непонятна запись о доказательсте для этой задачи радиуса к стороне. Нет смысла. Это просто обозначение окружности. Но если это важно, то:

"Свойство касательной.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания".

В данной трапеции
∠ADB = ∠CDB, так как диагональ BD является биссектрисой острого угла,
∠ADB = ∠CBD как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD, значит ∠CDB = ∠CBD, ⇒ BC = CD = 5 см.

Проведем высоту СН. В прямоугольнике АВСН АН = ВС = 5 см, СН = АВ = 4 см.

ΔCDH: ∠CHD = 90°, по теореме Пифагора
             HD = √(CD² - CH²) = √(25 - 16) = √9 = 3 см

AD = 5 + 3 = 8 см

При вращении трапеции вокруг основания ВС получается:
1) круг, с радиусом АВ = 4 см;
2) цилиндрическая поверхность с радиусом основания 4 см и образующей AD = 8 см;
3) коническая поверхность с радиусом основания 4 см и образующей CD = 5 cм.

S₁ = πR² = 16π см²
S₂ = 2πRH = 2π · 4 · 8 = 64π  см²
S₃ = πRl = π · 4 · 5 = 20π см²

S = S₁ + S₂ + S₃ = 16π + 64π + 20π = 100π cм²

Проведём высоту к большему основанию, после чего получаем прямоугольный треугольник с одним из углов равным 45 градусам.
Второй угол, соответсвенно, равен 180 - 90 - 45 = 45 градусов, т.е. образованный треугольник и прямоугольный, и равнобедренный.
Т.к. после проведения высоты мы получили ещё и квадрат, значит меньшая боковая сторона равна проведённой высоте, т.е. она равна той части большего основания, которую мы и искали.
Таким образом, по формуле площади трапеции мы получаем, что S = полусумме основания * на высоту, т.е. 10+5/2 * 5 = 37,5 см^2