Через точку М, яка лежить на стороні АВ трикутника АВС, паралельно стороні АС проведено площину, яка перетинає сторону ВС уЗнайдіть MN, якщо:а) AM=10 см, ВМ 5 см, АС %3 12 см;б) АМ : ВМ 3 2: 3, АС 10 см;в) АМ — ВМ 2 см, АС = 16 см, MN = ВМ.

Опустим высоты BH1 и CH2, BH1∩CH2=O, BH1=h1, CH2=h2. Тогда ∠AH1B=∠OH1C=∠CH2A=∠OH2B=90°.

Рассмотрим ΔAH2C. ∠H2СA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH2C равнобедренный => AH2=CH2=h2.

Рассмотрим ΔAH1B. ∠H1BA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH1B равнобедренный => AH1=BH1=h1.

Рассмотрим четырехугольник AH2OH1. ∠H2OH1=360°-90°-90°-45°=135°. => ∠BOH2=∠COH1=180°-135°=45°.

Рассмотрим ΔBH2O. ∠H2BO=180°-90°-45°=45°=∠BOH2(по доказанному ранее)=> ΔBH2O равнобедренный => BH2=OH2=a.

Рассмотрим ΔCH1O. ∠H1CO=180°-90°-45°=45°=∠COH1(по доказанному ранее)=> ΔCH1O равнобедренный => CH1=OH1=b.

BH1=h1=b+√(BH2²+OH2²)=a√2+b

CH2=h2=a+√(CH1²+OH1²)=a+b√2

Рассмотрим ΔBOC. По неравенству треугольника BC<BO+OC=√(BH2²+OH2²)+√(CH1²+OH1²)=a√2+b√2

Тогда P=AB+BC+AC=h2+a+h1+b+AC<h2+a+h1+b+a√2+b√2=h2+h1+(a+b√2)+(a√2+b)=h1+h2+h1+h2=2(h1+h2)

Ч.т.д.

Опустим высоты BH1 и CH2, BH1∩CH2=O, BH1=h1, CH2=h2. Тогда ∠AH1B=∠OH1C=∠CH2A=∠OH2B=90°.

Рассмотрим ΔAH2C. ∠H2СA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH2C равнобедренный => AH2=CH2=h2.

Рассмотрим ΔAH1B. ∠H1BA=180°-90°-45°=45°=∠A(по условию)=> ΔAH1B равнобедренный => AH1=BH1=h1.

Рассмотрим четырехугольник AH2OH1. ∠H2OH1=360°-90°-90°-45°=135°. => ∠BOH2=∠COH1=180°-135°=45°.

Рассмотрим ΔBH2O. ∠H2BO=180°-90°-45°=45°=∠BOH2(по доказанному ранее)=> ΔBH2O равнобедренный => BH2=OH2=a.

Рассмотрим ΔCH1O. ∠H1CO=180°-90°-45°=45°=∠COH1(по доказанному ранее)=> ΔCH1O равнобедренный => CH1=OH1=b.

BH1=h1=b+√(BH2²+OH2²)=a√2+b

CH2=h2=a+√(CH1²+OH1²)=a+b√2

Рассмотрим ΔBOC. По неравенству треугольника BC<BO+OC=√(BH2²+OH2²)+√(CH1²+OH1²)=a√2+b√2

Тогда P=AB+BC+AC=h2+a+h1+b+AC<h2+a+h1+b+a√2+b√2=h2+h1+(a+b√2)+(a√2+b)=h1+h2+h1+h2=2(h1+h2)

Ч.т.д.