Диагонали ромба равны 30 и 40 см. найдите рабиус окружности, вписанной в ромб.

пусть ok- высота от т. пересеч. диагоналей до стороны ромба abcd

ab^2=400+225=625 (в треуг. aob)   ab=25

saob=1/2*20*15=150

ok=2s/ab=300/25=12   -   радиус впис. окр.

 

точкой пересечения они делятся на отрезки по 15 и 20 см

сторона ромба =  =25 см

s прямоугольного треугольника= 15*20/2=150 см^{2}

h=150*2/25=12

ответ: 12см

Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1. можно решить двумя способами: векторным и . 1) поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой а в начало и ребром ав по оси оу. находим координаты необходимых точек. с((√3/2; (1/2); 0)                 д((√3/6); (1/2);   √(2/ м((√3/12); (1/4); (√6/6))       к((√3/4); (3/4); 0). определяем координаты векторов. √3/3); 0;   √(2/ модуль равен  √((3/9)+0+(2/3) = 1. мк((√3/6); (1/2); (-√6/ модуль равен  √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2). cosα = √3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(- √6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =         = -√2/2. угол  α = 135, или ближайший угол равен 45°. 2) проверяем способом.     если проведём осевое сечение через ребро ад, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды. они равны по  1*cos30 =  √3/2. мк как медиана и высота на сторону ад равна  √((3//4) =  √(2/4) =  √2/2 = 1/√2. теперь перенесём отрезок мк из точки к  в точку с и новую точку м1 соединим с точкой д. получим треугольник дсм1 с двумя известными сторонами сд = 1 и см1 = 1/√2. так как ребро  ад перпендикулярно вс, то перемещение точки м в м1 равно 1/2, а отрезок мм1 =  √((1/2)²+(1/2)²+ =  √(2/4) = 1/√2. выяснили, что треугольник дсм1 имеет две  стороны по 1/√2 и одну, равную 1. проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1. получаем прямоугольный треугольник с равными катетами. значит, угол между мк и сд равен 45 градусов.

Если  точка n равно  удалена от каждой вершины треугольника, то это вершина конуса, в  основание которого (круг) вписан заданный треугольник.проекция  точки n на основание - центр о описанной вокруг треугольника окружности радиуса r.r = a/(2sina). находим высоту h на основание треугольника.h =  √(3²-(4/2)²) =  √(9-4) =  √5. sina = h/ab =  √5/3. тогда r = 3/(2*(√5/3) = 9/(2√5) = 9√5/(2√5*√5) = 0,9√5. расстояние от точки n до плоскости треугольника - это отрезок no. no =  √(2,1²-r²) =  √(4,41-0,81*5) =  √(4,41-4,05) =  √0,36 = 0,6.