В пирамиде DABC ребро AD является её высотой. АС = 18, AD = 6, АВ = 12, САВ = 90 градусов. Найдите угол между прямой, проходящей через середины ребер BD и АС, и плоскостью грани ABD.

Решение. Т.к. АВС - правильный треугольник, то: а) его медианы совпадают с высотами и биссектрисами и пересекаются в его центре (центре вписанной в него окружности); б) радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: r=a/(2*3^(1/2)) (а делённое на 2 корня из 3-х), где а - сторона треугольника.

В прямоугольном трегольнике МОК: ОК = r = 6*3^(1/2) / (2*3^(1/2)) = 3 см,

ОМ=4 см - по условию. Тогда: MK^2 = OK^2 + OM^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25, а MK = 25^(1/2) = 5 см.

В треугольнике МВС, МК - высота. Тогда его площадь равна:

S = 1/2 * (AB * MK) = 1/2 * (6*3^(1/2) * 5) = 15 * 3^(1/2) см2 (15 корней их 3-х см квадратных)

Проведем в обоих треугольниках медианы из всех трех вершин. Треугольники - правильные, поэтому медианы являются одновременно высотами треугольников и пересекаются в центре окружности.

Для вписанного треугольника отрезок медианы от точки их пересечения (центра окружности) до вершины равен радиусу окружности.

Для описанного треугольника радиусом окружности является отрезок медианы от точки их пересечения до середины стороны треугольника.

Таким образом треуольники являются подобными с коэффициентом подобия, равным отношению, в котором медианы треугольника делятся их точкой пересечения.

Но поскольку точка пересечения медиан всегда делит каждую их них в соотношении 1:2, то и сторона вписанного треугольника будет в два раза меньше стороны описанного.