Через кінці відрізка АВ і внутрішню його точку М проведено паралельні прямі, які перетинають площину α в точках А1, В1, М1. Знайдіть довжину відрізка ММ1, якщо відрізок АВ не перетинає площину α і АА1=10 см, ВВ1=30 см, АМ : МВ = 1 : 3

Теорема Фалеса ( определение)
Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. 
Обобщенная теорема Фалеса:
отрезки, высекаемые параллельными прямыми на одной прямой, пропорциональны отрезкам на другой прямой.

Рассмотрим рисунок, данный во вложении.
Согласно теореме 
2:3=7:х
2х=21
х=10,5 см
Обратим внимание на то, что сумма двух отрезков на стороне а равна длине третьего отрезка.
Т.е. 2+3=5.
Согласно т.Фалеса 
у=7+х
у=7+10,5=17,5 см

К тому же результату придём, если составим и решим пропорцию
3:5=10,5:у
у=52,5:3=17,5
----------
Добавлю, что задачу можно решить через подобие треугольников отношением их сторон. Только это несколько длиннее. 

Так как в трапеции угол А =60, угол ABD=90, то угол ADB=30. 
Так как BD биссектриса угла D, то угол D=60. Угол А равен углу D, значит трапеция равнобедренная, т. е. AB=CD. 
Сумма углов трапеции 360, значит угол B=360-(60+60)/2=120. 
Угол CBD=угол B-угол ABD=120-90=30. 
Угол BDC тоже равен 30 (т. к. BD биссектриса) , значит треугольник BCD равнобедренный, BC=CD=AB. 
Если провести высоту BH, то в треугольнике ABH угол А=60, AHB=90, следовательно угол ABH=30. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 лежит катет, равный половине гипотенузы, AH=1/2 AB. Значит AD=BC+2AH=BC+AB=2AB. 
Периметр=AB+BC+CD+AD=AB+AB+AB+2AB=5AB. 
AB=Периметр/5, AB=20/5=4. 
AD=2AB=2*4=8