Через кінці відрізка АВ і його середину М проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину в точках А1, В1 і М1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка ММ1, якщо відрізок АВ не перетинає площину і АА1= 8 см, ВВ1= 6 см.

ΔАВО: ОА = ОВ = R,
             AB = R по условию, значит треугольник АВО равносторонний,
⇒ ∠АОВ = 60°

∠АОВ - центральный, опирается на дугу АВ.
∠АСВ - вписанный, опирается на ту же дугу, значит,
∠АСВ = ∠АОВ/2 = 60°/2 = 30°.

∠АМС = ∠BMD = 120° как вертикальные.
ΔАМС: ∠АМС = 120°, ∠АСМ = 30°, ⇒∠САМ = 30°,
т.е. треугольник АМС равнобедренный, АМ = СМ.

Пусть х - коэффициент пропорциональности,
Тогда ВМ = 2х, МС = 3х.

∠АМВ = 180° - ∠BMD = 180° - 120° = 60° как смежные.

ΔАМВ: BM = 2x, AM = 3x, AB = R, ∠AMB = 60°.
По теореме косинусов:
АВ² = АМ² + МВ² - 2·АМ·МВ·cos60°
R² = 9x² + 4x² - 2·3x·2x·1/2
R² = 13x² - 6x²
7x² = R²
x = R/√7

BC = 5x = 5R/√7 = 5R√7 / 7

Добавляю альтернативное решение, которое, по моему , проще и короче.

Смотри рисунок. Там сделаны дополнительные обозначения.

Из подобия красного треуг. и АВЕ  имеем

R:(a/2)=a:(R+r+x)
подставляем исходные значения, получаем

2*25/(8a)=a/(25/8+3/2+x)  

откуда после простейшего преобразования получаем

(37+8x)*5²=32a²

a²=(37+8x)*5²/32
т.к.   а -целое, то и квадрат его тоже целое и тогда правая часть - тоже целое.
т.к.  5² не имеет общих множителей с 32, то  (37+8х) делится нацело на 32 и может принимать значения только полного квадрата , т.е. 1,4,9 и т.д.

если оно равно 1, то а=5,  тогда х=-5/8  (да,да, именно  -5/8  !, потому что реальный рисунок не такой, а именно т.О2 должна находиться между точками О1 и Е), высота к основанию будет =25/8-5/8+3/2=4, тогда половина основания =3, а основание =6.
Итак , решено.
Но ситуация может быть и другая, когда выражение принимает значение не 1, а 4, как мы сказали раньше. 
Примем же это.
Тогда сторона  а=10, х=11,375
Т.е. по идее центр вписанной окружности лежит вне треугольника и треугольник тупоугольный.  Но такого быть не может, потому что х- это расстояние между центрами окружностей и оно больше радиуса описанной окружности.
Значит, ответ единственный - 5,5,6.