Из точки, расположенной на расстоянии 6 см от плоскости, проведена к ней наклонная длиной 10 см. Найдите длину проекции этой наклонной. А) 8 см В) 3 см C) 5 см D) 11 см E) 6 см

8см

Объяснение:

Расстояние от точки до плоскости,наклонная и проекция составляют прямоугольный треугольник, где наклонная является гипотенузой.

По теореме Пифагора найдем катет.

√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8см.

Во первых, уточним, что прямая р лежит в ОДНОЙ плоскости  с треугольником АВС.
Во вторых,существует аксиома: "В одной плоскости через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну".
Следствие из этой аксиомы:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую. Это следствие доказывается методом от противного.
Предполагается, что прямая (АС или ВС), пересекающая одну из параллельных прямых (АВ) в точке (А или В), НЕ пересекает вторую. Тогда имеем еще одну прямую k, параллельную  второй прямой р, проходящую через точку пересечения (А или В), что противоречит аксиоме о параллельных прямых.
Итак, если p параллельна AB, а BC и АС пересекают AB, значит прямые BC и АС (или их продолжения) пересекают и прямую p, т.к. p || AB.
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим рисунок, вложенный в решение.

ᐃ АВС - осевое сечение конуса, вписанного в шар с центром О.
АВ=ВС - его образующие
АС= диаметр основания конуса
НС- радиус основания конуса
ВН -высота конуса
ВМ- диаметр шара
ВО - радиус шара

 Формула объема конуса

V=⅓ πr²h

 Для нахождения объёма необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса.

Высота ВН равна разности ВМ и МН
Соединим точку М диаметра шара и точку С диаметра конуса.
Рассмотрим треугольник ВСМ.
∠ВСМ - прямой, поскольку опирается на диаметр окружности.
Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 см
Катет ВС - образующая конуса и равен 8 см
Катет МС по теореме Пифагора
МС =√(100-64)=6 см
Чтобы найти r, обозначим отрезок ОН = х.
Тогда
r=НС
ВН= 5+х
МН=5-х
Выразим высоту НС²= r² через известные величины треугольника ВСМ
r²=ВС² - ВН²
r²=МС²-МН²
Приравняем выражения, обозначающие значение r² (иначе НС²)
ВС² - ВН²=МС²-МН²
8² -(5+х)²= 6²-(5-х)²
64 - 25 -10х -х²=36 -25 +10х -х²
64 -10х =36 +10 х
28=20х
х=1,4
ОН=1,4
Из треугольника МНС найдем НС- радиус основания конуса
r²=МС²- МН²
МН=R - ОН=5-1,4 = 3,6 см
r²=36 -12,96=23,04

r=√23,04=4,8 см

V конуса=⅓ πr²h

V=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³ 

или приближенно 154,4 см³ ( если на калькуляторе умножать на значение π )

-----

Вариант решения:

Для нахождения объёма необходимо знать высоту ВН и радиус r конуса. 
Рассмотрим треугольник ВСМ.∠ВСМ - прямой, поскольку опирается на диаметр окружности.
 Гипотенуза этого треугольника равна 2R и равна 10 см
 Катет ВС - образующая конуса и равен 8 см 
В прямоугольном треугольнике  катет  есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой. Иными словами, квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на  проекцию этого катета на гипотенузу. 
В треугольнике ВСМ  отрезок ВН - проекция катета ВС на гипотенузу. ВС²=ВН*ВМ 
64=10*ВН 
ВН=6,4 - это высота конуса. 
СН - радиус конуса, который в то же время является высотой прямоугольного треугольника МВС, проведенной к гипотенузе.
 Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой; 
ВН мы нашли, он равен 6,4.
Отрезок НМ равен 10-6,4=3,6 
СН²=6,4*3,6=23,04 
СН=r=4,8 
V конуса=⅓ πr²h 
V=π*4,8²*6,4:3=π*49,152 см³