Знайти радіус кола описаного навколо трикутника зі сторонами 13 см, 14 см, 15 см.

По теореме Менелая:
(АК/КВ)*(BM/MC)*(CN/NA)=1.
ВМ/ВС=1/4  =>  ВМ/МС = 1/3.
AN/CN=3/1 => CN/AN=1/3.
Тогда
(АК/КВ)*(1/3)*(1/3)=1.
АК/КВ = 9/1.

Доказательство  теоремы:
Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через Р ее точку пересечения с прямой KN.
Треугольники AKN и CPN подобны (< KAN=<PCN,
< AKN=<CPN). Следовательно, AK/CP=NA/NC  (1).
Треугольники BKM и CPM подобны (< BMK=<CMP, < BKM=<CPM). Следовательно, KB/CP=BM/MC  (2).
Из (1) СР=AK*NC/NA.
Из (2) СР=КВ*МС/ВМ.
Тогда AK*NC/NA = КВ*МС/ВМ  и
(AK*NC/NA)/(КВ*МС/ВМ)=1.  Или
(АК/КВ)*(ВМ/МС)*(NC\NA)=1.
Что и требовалось доказать.

В треугольнике с углами 30°, 60°, 90° стороны относятся как 1 : √3 : 2 *

ABK - прямоугольный треугольник с углом 30°
AK=BK√3 <=> BK =AK/√3 =4√3/3 (см)
S(ABCD)= AD*BK =10*4√3/3 =40√3/3 ~23,09 (см)

-----------------------------------------------------------------------
*) △ABC, ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90°, CM - медиана.

CM=AB/2=MB (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)
△CMB - равносторонний (равнобедренный (CM=MB) с углом 60°)
BC=MB=AB/2

AB^2 =BC^2 +AC^2 <=>
AB^2 =AB^2/4 +AC^2 <=>
AC =√(3AB/4) =AB√3/2 =BC√3

BC : AC : AB =
BC : BC√3 : 2BC =
1 : √3 : 2