Точка К лежит между параллельными плоскостями α и β.Прямые, проходящие через точку К пересекают плоскость в точках А1 и В1, а плоскость β в точках А2 и В2 соответственно. Найдите А1К, если КВ2=18 см и  А1В1 : А2В2=5 :9.​

Ну очень сложно : смотрите, если радиус ВПИСАННОЙ в равносторонний треугольник окружности r, то высота 3*r, а это - сторона правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник как-бы составлен из 6 равносторонних треугольников со стороной 3*r (ну, типа лепестков ромашки, 6 треугольников с общей вершиной), и их высоты как раз и будут искомым радиусом, то есть 3*r*корень(3)/2 (ну, найти высоту равностороннего треугольника по заданной стороне - это не трудно :)).

Итак, ответ 3*(4*корень(3))*корень(3)/2 = 18.