Основание равнобедренного треугольника равно 4√3 а боковая сторона равна 4см. найдите углы треугольника.

по теореме косинусов

(4√3)^2=4^2+4^2-2*4*4*cosa

отсюда сosa=-0.5

cледовательно a=120

а два остальных угла по 30

Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны.  в нашем случае, если из центра o  описанной окружности опустить перпендикуляр od на ac, то od=ob/2=1/2.  далее,  ∠c_1ha_1=∠ahc=105° как вертикальные, а поскольку  ∠bc_1h=∠ba_1h=90°⇒ ∠c_1ba_1=360°-90°-90°-105°=75°. поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника abc окружность, а угол aoc - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠aoc=2·75=150°, а  ∠aod=(1/2)aoc=75°. наконец,  δaod прямоугольный, ao гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒od/r=cos 75°⇒ r=od/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)= 1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2 факт, в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт

Во-первых, я вас умоляю: не коверкайте хотя бы термины. в слове "гипотенуза" вторая буква категорически и, а не е. если вы со мной согласны, продолжаю. опишем окружность вокруг нашего треугольника. поскольку напротив гипотенузы находится прямой угол, и он вписанный, соответствующий центральный будет в два раза больше и поэтому будет являться развернутым. иными словами, центр описанной окружности является серединой гипотенузы.  далее, поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания (у нас это гипотенуза, равная 10) на высоту, наибольшая площадь будет у треугольника с наибольшей высотой, которая будет равна радиусу окружности (который у нас равен половине гипотенузы, то есть 5). отсюда наибольшая площадь равна (1/2)10·5=25