ABC - равносторонний треугольник. Точка P равноудалена от каждой своей вершины. Расстояние от вершины P до плоскости треугольника 6 см. Стороны трех ножек 18 см. а) Найдите длину проекции отрезка PC на плоскость треугольника. б) Найдите расстояние от точки P до вершин треугольника.

1) Рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и проекцией этого ребра на основание. Так как по условию боковое ребро наклонено под углом 30 градусов, то катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы, т. е. 3. А другой катет будет равняется 3V3 (по т. Пифагора). Найденный катет составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника, лежащего в основании правильной пирамиды. Вся высота равност. треуг. равна 9*V3/2. Внутри равностороннего треугольника есть маленький треугольник (образован высотой большого, стороной большого и половиной другой стороны большого). Угол между сторонами равност.о треуг. 60 градусов. Синус угла в 60 градусов равен отношению высоты к стороне равност. треуг. 
Пусть сторона равност. треуг. - х, тогда 9V3/2x = V3/2. х = 9. 
По формуле объем равен 1/3S(осн)*высоту. S(осн) = x^2 * V3/4 = 81*V3/4. Объем равен 1/3*81*V3/4*3 = 81*V3/4.