На сторонах прямоугольника выбрали два равных отрезка ав и сd . найдите на плоскости все такие точки м, чтобы треугольники авм и сdм были равными. сколько существует таких точек?

ответ:

Объяснение:

1) Найдем отношение сторон и сравним  их .СО/ОМ= 9/3=3/1,

АО/ОВ=15/5=3/1, 3/1=3/1.

2)Т.к. СО/ОМ=АО/ОВ, ∠СОА=∠ВОМ как вертикальные,  то ΔСОА подобен ΔМОВ по признаку "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".

В подобных треугольниках  соответственные углы равны, значит

∠АСО=∠ВМО. Но эти угы накрест лежащии приСА и ВМ , СМ-секущая. Значит САпараллельна ВМ.

Есть 2 способа решения:

- 1) геометрический,

- 2) векторный.

1) Проекция искомого отрезка MF на плоскость треугольника АВС это высота BF этого треугольника (он равнобедренный, углы при основании равны).

Сначала находим боковую сторону ВС:

ВС = МВ*tg60° = 8√3 см.

Отсюда определяем BF = BC*sin 30° = 8√3 * (1/2) = 4√3 см.

Получаем ответ:  

MF = √(MB² + BF²) = √ (64 + 48) = √112 = 4√7 ≈ 10,58301.

2) Поместим точку В в начало координат, точку А по оси Оу, отрезок ВС по часовой стрелке на угол 120 градусов от ВА.

Расстояние от точки М до прямой АС равно отношению модуля векторного произведения векторов АМ и АС к длине вектора АС.

Находим векторное произведение АМ и АС и длину вектора АС.

Модуль Вектор i j k i j  

24 АС 12 -20,785 0 12 -20,785  

16 МА 0 13,856 -8 0 13,856  

i166,276878j0k166,2768775

0  96  0

i166,276878j96k166,2768775

27648  9216  27648

   64512

d (расстояние от т.М до пр.АС) =10,58301  253,9921259

Прошу прощения за плохое форматирование текста - это копия с программы Excel. Во вложении дан фрагмент этого расчёта.