Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу в отношении 3: 4. вычислите площадь треугольника, если длина гипотенузы равна 35см.

дан треугольник авс

угол а=90градусов

ад биссектриса

 

сд=3х, вд=4х

3х+4х=25

х=5 (одна часть)

вд=4*5=20см

дс=3*5=15см

 

вд: дс=ав: ас=20: 15 (св. биссектрисы)

ав=20y

ас=15y

по теореме пифагора:

(20y)^2+(15y)^2=35^2

400y^2+225y^2=1225

y^2=1.96

y=1.4

 

s=1/2*ав*ас=1/2*20*1.4*15*1.4=294см^2

AC₁=2

AD₁=√5

Объяснение:

1. Рассмотрим ΔАВС (см. рис. 1). Он равнобедренный с АВ=ВС=1 и ∠В=120° (как внутренний угол правильного шестиугольника). Опустим  высоту ВО на АС. Получили два равных прямоугольных ΔАВО = ΔСВО с углами 60°,  30° и 90° (т.к. ВО в равнобедренном тр-ке есть биссектрисой).

По теореме Пифагора,

тогда АС=АО*2=

Рассмотрим ΔACC₁ (см. рис. 3). Он прямоугольный с двумя известными катетами

АС=√3, CC₁=1. Гипотенуза АС₁ является искомой величиной.

По теореме Пифагора:

2. Рассмотрим ΔACD. Он прямоугольный с двумя известными катетами

АС=√3, CD=1 (см. рис. 2). Найдем гипотенузу АD.

Рассмотрим ΔADD₁ (см. рис. 4). Он прямоугольный с двумя известными катетами

АD=2, DD₁=1. Гипотенуза АD₁ является искомой величиной.

По теореме Пифагора:

↓↓↓↓↓ФФФФФФФФ↓↓↓↓↓↓↓

Объяснение:

а) По правилу  (1) : СД²=АД*ДВ , 36=2*ДВ , ДВ=18, ⇒АВ=20

По правилу  (2) : АС²=АД*АВ, АС²=2*20=40   ⇒АС=2√10

По правилу  (2) : СВ²=ДВ*АВ, СВ²=18*20=360  ⇒АС=6√10

б)Если одна часть х, то ВД=х, АД=2х

По правилу  (1) : СД²=2х*х  , 50=2*х² , х=5, ⇒ВД=5 , ДА=10 , АВ=15

По правилу  (2) : АС²=АД*АВ, АС²=10*15=150  ⇒АС=5√6

По правилу  (2) : СВ²=ДВ*АВ, СВ²=5*15=75  ⇒АС=5√3

===================

1. Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, есть произведение между проекциями катетов на гипотенузу.

2) Квадрат катета есть произведение между всей гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу.