Построить равнобедренный треугольник по основанию и периметру.

Дано: δ асв ;   ∠с= 90° ав= 25 см сн = 12 см   - высота найти :   (ас +св ) - ? решение №1 (по теореме пифагора): сн⊥ав   ⇒   ∠сна=  ∠снв = 90° δанс :   ас² = ан² +сн² ан = х см ас² = х² + 12²     δснв : св²= нв² +сн² нв = (25 -х) см св² = (25-х)²   + 12² δасв : ав² = ас² + св² 25² = х² + 12²   + (25-х)² + 12² 625 = х² + 144 + 25² - 2*25*х   + х²   + 144 625 = 2х²   -50х   + 288   + 625  2х²   - 50х   + 288   + 625   - 625   = 0 2(х² - 25х + 144)   = 0       |÷2 x²   - 25x + 144 = 0 d = (-25)²   - 4*1*144 = 625 - 576=49=7² d> 0   два корня уравнения х₁ =   (25-7)/(2*1) = 18/2 = 9 (см)     х₂ = (25+7)/ (2*1) = 32/2 = 16 (см)  ан = 9 см   ; нв = 16 см   (или наоборот) ас² = 9²   + 12²     ⇒ ас =  √(81 + 144)   =  √225 = 15 (см) один катет св² = 16²   + 12²     ⇒ св=  √(256+144) =  √400 = 20 (см) второй катет ас +св = 15 + 20 =   35 (см) сумма катетов решение 2. высота из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которую делится гипотенуза этой высотой: сн =  √(ан*нв) ан= х   см нв = (25-х) см 12 =  √ (х(25-х) ) (12²) = (  √(х(25-х) )  ²  144 = х(25-х) 144 = 25х   - х² 144 + х²   - 25х = 0 х² - 25х + 144 = 0 x²   - 9x   - 16x + 144 = 0 x(x-9)   - 16(x-9) = 0 (х-9) (x-16)=0 произведение = 0 , если один из множителей = 0 x - 9 = 0   ⇒   x₁ = 9    ⇒ ан = 9   см   x - 16 = 0 ⇒   x₂   = 16 ⇒ нв   = 16   см по теореме пифагора: δанс :   ас =√(   9² + 12² ) =  √225 = 15 (см) δвнс :   св=  √(16² +12²) =  √400 = 20 (см) ас +св =   15 + 20 = 35 (см) решение 3. формула длины высоты через стороны: н= ab/c , где а,b   - катеты ; с - гипотенуза c= 25   см ; н = 12 см , подставляем в формулу : 12 = ab/25 ab= 25*12 ab=300       ⇒ b= 300/a по теореме пифагора: a²   + (300/a)²   = 25² (a⁴   + 300²) / a²   = 25² a⁴   - 625a²   + 300² =0 a⁴   -   225a²   -   400a²   + 90000 = 0 a²(a²-225)   - 400(a² - 225) = 0 (a² - 225)(a²   - 400) = 0 (a²   - 15²)(a²   - 20²) = 0  (a-15)(a+15)(a-20)(a+20) = 0 a₁ = 15 (см) один катет a₂ =   - 15   не удовл. условию а₃ = 20 (см) другой катет а₄ =   - 20   не удовл. условию а₁ + а₃   =   15 + 20 = 35 (см) сумма катетов ответ:   35 см   сумма катетов .

Условие: δасв - равнобедренный, ас = вс (по условию);   ∠с = 90°; сн - высота.   найти сн решение: если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то оба его катета равны (ас = вс)  а высота сн, проведённая из прямого угла, является и медианой и биссектрисой, ⇒ сн разделит ав пополам, т. е. ан = нв = 5см  - (свойство медианы) ⇒  ∠асн =  ∠нсв = 45° - (свойство биссектрисы) рассмотрим  δ анс:   ∠анс = 90° (т.к. нс - высота);                                     ∠асн = 45°                                     ∠нас = 180 - 90 - 45 = 45° (сумма  ∠∠∠  δ=180°) ⇒  δ анс - равнобедренный (∠асн =  ∠нас = 45°) ⇒ нс  = на = 5 см ответ: нс = 5см