ответ: теорема косинусов.
квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
teorema kosinusov
дано:
∆ abc.
доказать:
\[b{c^2} = a{b^2} + a{c^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle a\]
доказательство:
teorema kosinusov treugolnika
i. если треугольник abc — остроугольный.
1) опустим перпендикуляр cd на сторону ab.
2) рассмотрим прямоугольный треугольник adc.
по теореме пифагора,
\[c{d^2} = a{c^2} - a{d^2}
по определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,
\[ad = ac \cdot \cos \angle
следовательно,
\[c{d^2} = a{c^2} - {(ac \cdot \cos \angle a)^2}
3) рассмотрим прямоугольный треугольник bdc.
\[bd = ab - ad = ab - ac \cdot \cos \angle
по теореме пифагора
\[b{c^2} = b{d^2} + c{d^2}\]
\[b{c^2} = {(ab - ac \cdot \cos \angle a)^2} + \]
₽
конференция frontendconf 2019
18+
\[ + a{c^2} - {(ac \cdot \cos \angle a)^2}\]
\[b{c^2} = a{b^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle a + \]
\[ + {(ac \cdot \cos \angle a)^2} + a{c^2} - {(ac\cdot\cos \angle a)^2}\]
откуда
\[b{c^2} = a{b^2} + a{c^2} - 2 \cdot ab \cdot ac \cdot \cos \angle
teorema kosinusov dlya treugolnika
ii. если треугольник abc — тупоугольный.
1) опускаем перпендикуляр cd на прямую, содержащую сторону ab.
2) рассмотрим прямоугольный треугольник adc.
по теореме пифагора,
\[c{d^2} = a{c^2} - a{d^2}\]
по определению косинуса,
\[ad = ac \cdot \cos \angle cad\]
так как углы a и cad — смежные, то ∠cad=180º-∠a. по формуле
({180^o} - \angle a) = - \cos \angle
\[c{d^2} = a{c^2} - {( - ac\cos \angle a)^2}\]
\[c{d^2} = a{c^2} - {(ac\cos \angle a)^2}
3) рассмотрим прямоугольный треугольник bdc.
\[bd = ab + ad = ab + ( - ac \cdot \cos \angle a) = \]
\[bd = ab - ac \cdot \cos \angle
дальнейшая часть доказательства полностью повторяет рассуждения пункта i.
iii. если треугольник abc — прямоугольный, где ∠a=90º, получаем теорему пифагора (cos90º=0).
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Дан острый угол а. постройке угол, равный 1, 5а