Впрямоугольном треугольнике (∠a = 90°) величина угла b составляет 30°. из вершины угла c проведена биссектриса cd, которая разбивает противоположный катет на отрезки ad и bd. докажите, что ∆abc ~ ∆acd; найдите отношение ad : bd.

Рассмотрим треугольники adc и cbd.∠dca=∠cba (т.к. градусная мера дуги ca равна половине угла dca почетвертому свойству углов, связанных с окружностью, и на эту же дугу опирается  вписанный угол  cba, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по  теореме).∠cdb - общий для обоих треугольников, следовательно, по  признаку подобия, треугольники adc и cbd -  подобны. следовательно, по определению подобных треугольников запишем: cd/bd=ac/bc=ad/cdac/bc=am/mb=10/18 (по  первому свойству биссектрисы). из этих равенств выписываем: ad=cd*10/18bd=cd*18/10, (bd=ad+ab=ad+18+10=ad+28)ad+28=cd*18/10cd*10/18+28=cd*18/10 28=cd*18/10-cd*10/18 28=(18*18*cd-10*10*cd)/180 28*180=cd(324-100)cd=28*180/224=180/8=22,5 ответ: cd=22,5

Впараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон (d1)² + (d2)² = 2 a² + 2 b² (d1)² + (d2)² = 72+200 (d1)² + (d2)² =272 диагональные сечения - прямоугольники в основании которых лежит диагональ паралелелограмма и  одинаковой высотой призмы н. h·d1=40    выразим d1 =40/н h·d2=20√13  выразим d2=20√13/н (40/н)² + (20√13/н)²=272 н²=25 н=5 d1=8 d2=4√13 в параллелограмме меньшая диагональ равна 8, стороны 6 и 8. еньшая диагональ разбивает паралеллограмм на два треугольника со сторонами 6,8 и 10. а это прямоугольный треугольник. катеты 6 и 8, гипотенуза 10 площадь такого треугольника легко находится как половина произведения катетов 6·8/2=24. а площадь параллелограмма в два раза больше 48 кв см объем 48·н=48·5=240 куб см