Точки a1, b1, и c1 - середины сторон bc, ca, ab треугольника abc. найдите периметр треугольника a1b1c1, если ав=10 см, ва1=3см и св1=4 с.

средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине

отсюда легко посчитать длины сторон а1в1с1

периметр а1в1с1 = 3+4+5=12 см

кстати, авс - прямоугольный : )

1)   bc =√(15² +20²) =25       δcbh  (15 ; 20 ; 25) ab=√(15² +8²) =17;         δabh    (8; 15; 17)   r  =a*b*c/4s ; r =s/p , где   p  полупериметр . ac=ah +ch =8 +20 =28; s =(1/2)*ac * bh =14*15 =210 (см²) r =a*b*c/4s =25*28*17/4*210   =  85/6; r =s/p   ; p =(17+25+28)/2 =35 r =210/35;   r   = 6 . ======================================================= примечание : (15 ; 20 ; 25)= (5* 3; 5* 4  ; 5* 5)    ;   (8; 15; 17)   треугольники прямоугольные треугольники с сторонами выраж натуральными числами ======================================================== 2) h=32; r=12r   r =a*b*c/4s =ab²/4s. s =pr ah/2 =r*(a +2b)/2 ; a*32 =12(a+2b)     (a - , b ). 8a =3(a+2b); b=5a/6 ; b² - (a/2)²=12²; (5a/6)² -(a/2)² =12²   ⇒ a=18  ;   b=5a/6  =5*18/6 = 15. s=ah/2 =18*32/2 =288 r =a*b*b/4s =18*15*15/4*288     ; r=225/64.

Вравнобедренном треугольнике авс с углом 120°  проведена биссектриса этого угла. т.к. треугольник равнобедренный, то биссектриса из угла, противолежащего основанию является и его высотой и медианой  ( а этот угол противолежит основанию, т.к. двух тупых углов в треугольнике быть не может). два   угла при основании  равны по (180°-120°): 2=30° пусть эта биссектриса будет вн. тогда ее основание - точка н на основании треугольника и   ан=сн. по условию основание биссектрисы удалено от одной из сторон на расстояние 12 см. т.к. треугольник равнобедренный, неважно, какую сторону выберем.  расстояние от точки до прямой измеряют перпендикуляром. нк ⊥вс и в треугольнике нкс противолежит углу 30° катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы, а гипотенуза вдвое больше этого катета.  отсюда половина основания ас  треугольника равна ас=2*нк=2*12=24смас=2*24=48 см