Дві сторони трикутника дорівнюють 2√2 см і 2 см , а відношення третьої сторони до радіуса кола , описаного навколо трикутника , дорівнює √2 : 1 . знайдіть третю сторону трикутника, скільки розв`язків має ?

Априори, здесь возможны два случая - внешний угол является смежным с одним из двух углов при основании равнобедренного треугольника или с третьим  углом, который лежит напротив основания. допустим, внешний угол является смежным с одним из углов при основании. тогда соответствующий угол при основании равен 180-80=100 градусов. так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то другой угол при основании тоже будет равен 100 градусов. очевидно, что данный случай невозможен, так как угол, равный 100 градусам является тупым, а в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. следовательно, данный нам  внешний угол является смежным с внутренним  углом треугольника, который лежит против основания. значит, соответствующий внутренний угол треугольника равен 180-80=100 градусов. сумма всех внутренних углов треугольника равна 180 градусов, значит, сумма двух углов при основании равна 180-100=80 градусов. так как углы при основании равны, то каждый из них равен 80: 2=40 градусов. ответ: углы треугольника равны 100 градусов, 40 градусов и 40 градусов.

Пусть   ab = 18  см ; ca=cb =15 см.  r==> ? ; r==> ? r =s/p   где    p -  полупериметр   треугольника: p= (a + b + c)/2. r=a*b*c/4s. проведем высоту  из вершины  c:     ch  ┴  ab ; h∈[ab] ; ah =bh=ab/2 =18 см/2 =9 см.      из  δcha   по  теореме пифагора   :   ch =√(ac² -ah²) =√(15² -9²) =12 (см) .   * * *   ah = 3  * 3 ; ch = 3  * 4 ; ca = 3  * 5 * * * s =1/2*ab*ch =ah*ch =9*12 =108   (см²); r =s/p =108/(15+15+18)/2) =108/( 15+9) =108/24 =9*12/2*12 =9/2 =4  1/2  ,  иначе  4,  5 (см) r =15*15*18/(4*108) =  15*15*2*9/(4*12*9)=75/8 =9 3/8  ,    иначе    9,375  (см)  . ответ   :   4,  5 см   9,375  см  . ************************************************************************ вычисление площади  можно было сразу по формуле герона : s =√p(p-a)(p-b)(p-c) =√24*(24 -15)(24-15)(24 -18) =√4*6*9*9*6 =2*6*9 =108 , а для  r и  r не использовать готовые формулы как выше   ,