На стороні ав трикутника авс позначили точку f так, що кут afc=100 градусів. відомо, що центр вписаного кола трикутника afc збігається із центром описаного кола трикутника авс. знайдіть кут трикутника авс.

Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180°   – обязательное условие для этого. у трапеции авсд, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.если дано  ав + cd + ef = 18, то  ав + cd = 2ef.отсюда вывод:   2ef+ef = 18,   3ef = 18,   ef = 18/3 = 6. если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней линии трапеции. то  есть периметр такой трапеции равен 4 средним линиям: р = 4ef = 4*6 = 24. 

Полуокружность (это 180°)  разделена на две дуги,градусные меры которых относятся как 2: 4. значит, дуги равны (180/(2+4))*2 = 60° и 120°. хорды и диаметр образуют прямоугольный треугольник с углами 30° и 60° (по свойству вписанных углов). обозначим меньший катет за х, второй - (х+10). гипотенуза (это диаметр) равна 2х (катет х лежит против угла в 30°). по пифагору 4х² = х²+(х²+20х+100). получаем квадратное уравнение 2х²-20х-100 = 0, сократим на 2: х²-10х-50 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант:   d=(-10)^2-4*1*(-50)=100-4*(-50)=*50)=)=100+200=300; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:   x_1=(√))/(2*1)=(√300+10)/2=(√300/2)+(10/2)=(√300/2)+5  ≈13,660254;   x_2=(-√))/(2*1)=(-√300+10)/2= (-√300/2)+(10/2)  = (-√300/2)+5  ≈  -3,660254. отрицательный корень отбрасываем ответ: диаметр равен 2х = 2*((√300/2)+5) =  √300+10  ≈  27,32051.