Втреугольнике abc вписана окружность, которая касается сторон ab и bc в точках e и f соответственно. касательная mk к этой окружности пересекает стороны ab и bc соответственно в точках m и k. найдите периметр треугольникаbmk, если be = 6см.

пусть р - точка касания мк и вписанной в авс окружности. тогда мр = ме, кр = kf. и ве = bf. все это - потому что касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны. получаем 2*ве = ве + bf = вм + ме + bk + kf =  вм + мp + bk + kp =  вм + bk + mk = периметр вмк;

ответ: периметр вмк равен 12.

Стержень - это цилиндр высотой н и радиусом r. квадратные гайки  - это прямоугольный параллелепипед высотой н и основанием - квадрат со стороной а=12 см.  чтобы был минимальный расход материала, нужно  прямоугольный параллелепипед вписать в цилиндр. значит диаметр стержня d  будет равен диагонали квадрата d: d=d=a√2=12√2. объем стержня  vс=πr²h=πd²h/4=π*288h/4=72πh. объем прям.параллелепипеда vп=a²h=144h. объем проделанного отверстия  радиусом  r=6/2=3:   vо=πr²h=9πh. найдем отходы v=vc-vп+vo=72πн-144н+9πн=9н(9π-16) процент отходов от объема %=v*100/vc=9н(9π-16)*100/72πн=12,5(9π-16)/π=112,5-200/π≈112,5-63,69=48,81%

Если окружность касается осей координат, то центр окружности о  отстоит от начала координат на величину радиуса. рассмотрим прямоугольный  треугольник, где оа - гипотенуза, равная радиусу r, а 2 катета равны: r  -  2 и  r - 1. по пифагору r² = (r - 2)² + (r  -  1)². раскроем скобки) r² = r²-4r+4+r²-2r+1. получаем квадратное уравнение r²-6r+5 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно x:   ищем дискриминант: d=(-6)^2-4*1*5=36-4*5=36-20=16; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√))/(2*1)=())/2=(4+6)/2=10/2=5; x₂ =(-√ ))/(2*1)=(-))/2=(-4+6)/2=2/2=1.второй корень не удовлетворяет условию и его отбрасываем.ответ: центр (-5; 5), r = 5.