Втреугольнике авс проведена биссектриса угла в, пересекающая сторону ас в точке д. через точку д проведена прямая , параллельная стороне вс и пересекающая сторону ав в точке е. докажите , что де=ве.

проведём прямую через точку д параллельную стороне ав, которая пересекает сторону вс в точке к. т.к. прямые ав и вл параллельны и ед, вк секущие,

т.к. прямые ед и вс параллельны и ев, дк секущие, то

дев+кде=180

евк+вкд=180 

дев+евк=180 

кде+вкд=180 =>

кде=евк , вкд=дев

т.к евк=кде, то вд - биссектриса евк и кде => евд=двк=вде=вдк

т.к. евд=вдк, то   треугольник евд - равнобедренный => де=ве

ч.т.д.

обозначения:

r — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

— радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне ;

— углы, противолежащие сторонам a, b и c соответственно;

— высота, соответствующая стороне a.

— теорема синусов.

— формулы площади треугольника.

— связь между радиусами вневписанных окружностей, длинами высот и радиусом вписанной окружности.

— менее известные формулы площади треугольника.

— формула эйлера, где d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

— аналог формулы эйлера для вычисления расстояния между центрами вневписанной (соответствующей стороне a) и описанной окружностей.

***

этого хватит? ведь записать «все» формулы невозможно: комбинируя имеющиеся формулы и находя новые зависимости, можно создать практически бесконечный список.

находим координаты векторов.

св = (-2; -2; -9)       |cb| = √(4 + 4 + 81) = √89.

сд = (-11; -7; 1)   |cд| = √(121 + 49 + 1) = √171.

векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующую формулу:

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

подставив значения, получим:

-2 - 63   99 - (-2)   14 - 22

-65   101   -8 .

модуль abхcd =   √)² + 101² + (-8)²) = √14490 = 3√1610 ≈   120,3744.

площадь равна (1/2)*3√1610 = (3/2)√1610 ≈ 60,1872 .