Через точку а, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные ав и ас. точки в и с - точки касания. докажите, что ав = ас.

                        а

 

  в                                         с

 

 

                         

                        о

 

 

расматриваем прямоугольные треугольнки с катетами ав, ов и ас ов, гипотенуза ао - общая для этих треугольников. так как ов=ос=радиусу окружности, то и вторые катеты равны, т.е. ав=ас  

Пусть один угол будет х - это при вершине тогда два других угла, которые равны друг другу, так как при основании треугольника,   будут 2х. получаем уравнение х + 2х + 2х = 180                                                                                 5х = 180                                                                                   х = 180 : 5                                             х =   36 градусов   это угол при вершине равнобедренного треугольника, он равен 36 тогда при основании   углы будут 2 * 36 =72 градуса каждый ответ 36, 72, 72

Мы касаемся в этой интересного круга , связанных с треугольником, у которого один из углов равен 60°. оказывается, у такого треугольника (хотя в этой это и не потребуется), центр описанной окружности, центр вписанной окружности, ортоцентр (то есть точка пересечения высот), а также две  вершины лежат на одной окружности, которая получается из описанной симметрией относительно стороны треугольника.  возвращаемся к нашей . вспоминаем формулу, по которой ищется угол между биссектрисами двух углов треугольника. он равен 90°+ половина третьего угла (доказывается это просто, если вы знаете, чему равна сумма углов треугольника, вы с этой справитесь). в нашем случае угол между биссектрисами aa_1 и bb_1 будет равен 90+30=120°. замечаем, что  ∠a_1hb_1+∠c=180°  ⇒ вокруг четырехугольника ca_1hb_1 можно описать окружность.    остается вспомнить, что биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке  ⇒ch делит угол a_1cb_1 пополам, а тогда дуги, на которые опираются эти половинки, равны, а тогда и хорды a_1h и b_1h равны, что и требовалось.