Впрямоугольнике abcd биссектриса угла а пересекает сторону bc в точке м, а биссектриса угла d в точке к. найти периметр треугольника pmk, где p- точка пересечения этих биссектрис, если вм=5 и мк=4.

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. в нашем случае угол между прямой мк и плоскостью а - это угол между прямыми мк и м1к. в прямоугольном треугольнике мм1к с прямым углом м1угол м1км=30°, следовательно гипотенуза мк=36*2=72. тогда м1к=√(72²-36²)=36√3. p.s. но для чего дан угол между мк и плоскостью b? вот если бы требовалось найти проекцию мк на плоскость b, тогда узнав, что мк=72, найдем эту проекцию из прямоугольного треугольника крм, в котором мр=кр (так как < кмр=45°). мр=36√2.

Пусть х и у - длины смежных сторон искомого прямоугольника. обозначим d - его диагональ, p - полупериметр. тогда x+y=p и x²+y²=d². т.е. х и у - абсцисса и ордината точки пересечения прямой и окружности, заданных этими уравнениями. поэтому процесс построения выглядит так: 1) строим прямой угол с вершиной о (он задает оси декартовой системы координат). 2) строим окружность с центром в о и радиуса d (ее уравнение x²+y²=d²). 3) на сторонах прямого угла отмечаем точки a и b на расстоянии p от точки о  и проводим прямую ab (уравнение этой прямой x+y=p. заметим также, что ∠oab=45°).  пусть c - какая-нибудь точка пересечения этой прямой с окружностью. 4) опускаем перепендикуляр cd на оа, и перпендикуляр ce на ob. тогда прямоугольник oecd - искомый. действительно, его диагональ oc равна радиусу окружности, т.е.равна d. его полупериметр равен ec+cd=od+da=oa=p, т.к. cd=da, поскольку ∠oab=45°.