Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии.

равнобедреною трапецию можно вписать в окружность если сумма боковых сторон будет ровна сумме основ.

представим что abcd равнобедренная трапеция тоесть ab и cd боковые стороны, а bc и  ad основы, то ad+bc=ab+c

Найдём, по теореме пифагора, второй катет в данном прямоугольном треугольнике, он равен  , найденный нами катет является меньшим, поэтому вращение треугольника происходит вокруг него, при этом образуется конус. осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей, а основание равно диаметру окружности, лежащей в основании конуса, в данном случае образующая равна гипотенузе, диаметр-двум большим катетам данного треугольника, а высота-меньшему катету,  значит площадь сечения равна:

Соединим точки а1 и с, в1 и а, с1 и в. аа1, вв1 и сс1 являются медианами треугольников sδсс1а1, sδaa1в1, sδвв1с1 соответственно. по свойствам медианы, которая делит треугольник на два треугольника равной площади, имеем равенство площадей треугольников sδac1a1=sδaa1c    sδba1b1=sδbb1a    sδcb1c1=sδcc1b в свою очередь вс, ас, ва являются медианами в треугольниках sδaa1c, sδbb1a, sδcc1b соответственно, следовательно также делят эти треугольники на два треугольника с равными площадями. отсюда площади каждого из этих треугольников равны 2. а площадь всего треугольника а1в1с1=2+2+2+1=9