Сторона правильного пятиугольника abcde равна 2. диагонали ad и de пересекаются в точке о. найти ао

диагональ, скорее всего, ве, так как de - сторона.

для наглядности я проведу все диагонали пятиугольника. получилась звезда. из правильности пятиугольника сразу следует, что все стороны этой звезды равны между собой (при повороте пятиугольника на угол 360/5, 2*360/5 и так далее звезда совпадает сама с собой, поэтому и равны все её стороны*). ао - одна из сторон этой звезды. обозначим её длину х.

обозначим м - точку пересечения ad и ес (напомню еще раз: о - точка пересечения ad и ев, а не ed, как не верно сказано в условии).

рассмотрим треугольник еам. в нем ем = ео = ао = х. ео - биссектриса угла аем, поскольку дуги ав и вс равны, а углы аев и вес вписанные, и опираются на них. 

кроме того, дуга ае равна дуге вс, следовательно, ав параллельно ес, и - поэтому амсв - ромб ( параллелограмм с равными соседними сторонами).

итак, ам = ав = а (по условию а = 2);

теперь все элементарно. из свойства биссектрисы мо/ао = ме/ае, то есть

(a - x)/x = x/a;

x^2 - a*x - a^2 = 0;

x = a*(1 +  √5)/2; (отрицательное решение отброшено).

ответ ао =  1 +  √5

 

*есть еще зеркальная симметрия относительно вм, и других таких прямых, которые проходят через вершину пятиугольника перпендикулярно противоположной стороне. поэтому равны соседние стороны звезды. 

 

 

замечание. треугольник еам имеет угол при вершине 36 градусов (в радианах π/5)  , а углы при основании ем - по 72 градуса (в радианах 2*π/5). ясно, что x/(2*a) - это косинус угла при основании, то есть 

cos(2*π/5) =  (1 +  √5)/4 = sin(π/10);

таким образом, вычислены в радикалах функции углов, кратных π/10 =  18 градусам (получить остальные не трудно из тригонометрических формул).

я не уточнял все это, потому что это было не нужно для решения. :

 

 

Т. к.  стороны   bf и fo равны, то треугольник fbo - равнобедренный. в равнобедренном треугольнике углы при равных сторонах одинаковы (равны) , т. е. угол bfo равен углу fob. сумма углов любого треугольника =180 градусов. известно, что в треугольнике угол fbo = 50 градусов. соответственно, 180-50=130. 130/2 = 65. 65 - это градусная мера углов bfo и fbo (bfo=fbo=65 град) . угол afo (искомый) - смежный с углом bfo. известно, что сумма градусных мер углов bfo и afo будет равна 180, поэтому afo=180-bfo. угол bfo мы нашли, он равен 65 град. => afo=180-65=

ответ:

6√3

объяснение:

проведём высоту к основанию. она разделит треугольник на два прямоугольных треугольника с катетом 9 и острым углом 60 (половина основания и половина противолежащего угла соответственно). гипотенуза такого треугольника равна 9/sin60=6√3, а второй катет равен (6√3)*cos60=3√3. площадь исходного треугольника равна площади 2 его половинок - прямоугольных треугольников, а площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов. тогда s=1/2*2*9*3√3=27√3, а боковая сторона равна 6√3.