Катет прямоугольного треугольника больше другого катета на 7 см и меньше гипотенузы на 1 см. найдите стороны этого треугольника.

катет1 =х

катет2 =х-7

гипотенуза =х+1

по теореме пифагора

(x+1)^2 = x^2+(x-7)^2 

x^2+2x+1=x^2+x^2-14x+49

x^2-16x+48=0

d=64

x1=4 если это первый катет,то второй 4-7=-3 не подходит по смыслу

x2=12  если это первый катет,то второй 12-7=5

гипотенуза х2+1=12+1=13

проверка

13^2 = 12^2+5^2

169 =169

тождество

ответ  стороны этого треугольника 5; 12; 13

способ 1

прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство). 

пусть центр описанной окружности - о.  

проведем через середины оснований высоту трапеции нк. 

середина вс- н, середина аd - к, и точка пересечения диагоналей - м.  

отрезок нк перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды). 

сумма внутренних  односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей ав равна 180°. 

углы трапеции при основании аd равны 180°-105°=75°

соединим вершины а и в трапеции с центром о окружности. 

треугольник аов - равнобедренный со сторонами, равными r.

его углы при ав равны ∠ сва- ∠сво=105°-60°=45°. 

следовательно,  ∠ оак= ∠вак-∠ вао=75°- 45°=30°

в треугольнике вос с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол вос опирается на ту же дугу, что вписанный угол вdс, поэтому вдвое больше его (свойство). 

∠вос=30°•2=60°, отсюда и углы при вс=60°. 

∆ вос - равносторонний, во=ос=вс=r=а.

высота этого треугольника он=а•sin 60°=(а√3)/2

    в ∆ оак противолежащий углу 30° катет ок=ао: 2=а/2. 

высота трапеции нк=но+ок=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1): 2

площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на  среднюю линию. 

  высота равнобедренной трапеции, диагонали которой  пересекаются под прямым углом, равна её средней линии. 

поэтому s=[a•(√3+1): 2]• [a•(√3+1): 2]=а²•(2+√3): 2 (ед. площади)

***********************

способ 2

поскольку углы при вс равны, трапеция авсd- равнобедренная, и углы при аd равны 180°-105°=75°

диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники.  по условию диагонали  взаимно перпендикулярны,  ⇒  ∆ вмс и ∆ amd - равнобедренные прямоугольные. углы  в этих треугольниках при вс и ad равны 45°

площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию. 

высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников  bmc и amd.

h=нм+мк. s=h² 

нм=0,5•bс=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного  прямоугольного треугольника)

мc=вс•sin 45°= (a√2): 2

md=mc•tg60°=(a√2•√3): 2

мк=md•sin45º=[(a√2•√3): 2]•√2/2=a√3/2 

h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2

s=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3): 2  (ед. площади)

пусть ан высота (медиана, биссектриса)

тогда ао=2/3ан (медианы пунктом пересечения делятся в соотношении 2/1 от вершины)

аналогично а1о1=2/3а1н1 => ah=a1h1

сн=1/2ас (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть ас равно х, сн равно х/2

по теореме пифогора из треугольника асн 3х^2/2=ah^2 => x=ah* (корень из 6)/2

с1н1=1/2а1с1 (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)

пусть а1с1 равно у, с1н1 равно у/2

по теореме пифогора из треугольника а1с1н1 3у^2/2=a1h1^2 => у=a1h1* (корень из 6)/2

получаем х=у

по трем сторонам треугольники равны