Вчетырехугольнике abcd ab=6 ad=15 dc=12 найдите четвертую сторону четырехугольника если в него можно вписать окружность

если в четырехугольник можно вписать окружность то суммы противоположных сторон равны.

ab+cd=ad+bc

6+12=15+bc

18=15+bc

bc=18-15

bc=3

 

четвертая сторона равна 3

  пусть  abcd  - прямоугольная  трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. о.

вс - основание трапецииad  - основание трапеции∠a  = 90°de  = 16 смae  =  am = bm =  bk  =  ko  =  mo  =  eo  =  r  = 12cм

ad = ae + de

ad = 12 + 16 = 28 (cм)в прямоугольном треугольнике  ode: катет  oe  = 12см  катет  de  = 16 смod  - гипотенузапо теореме пифагораod² =  oe² +  de²od² = 12² + 16² = 400od  =  √400 = 20 (см)  свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности  ⇒  ⇒  ed  = fd  = 16cм  и  ck  =  cf  как отрезки касательных, оd  - биссектриса  ∠adc,  oc  - биссектриса  ∠bcd

сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°  ⇒  ∠bcd  +  ∠adc  = 180°  ⇒  ∠dco  +  ∠cdo  = 180 / 2 = 90 (°)сумма углов треугольника равна 180°  ⇒  ⇒  ∠cod  = 180 - (∠dco  +  ∠cdo  ) = 180 - 90 = 90(°)в прямоугольном треугольнике cod

∠ocd= 180 - 90 -  ∠cdo  ⇒ ∠ocd = 90 - ∠cdo

в прямоугольном треугольнике ofc

∠ocf = 180 - 90 -  ∠cof = 90 -  ∠cof  ⇒  ∠cdo = ∠cof 

в прямоугольном треугольнике dfo

∠dof = 180 - 90 -  ∠cdo = 90 -  ∠cdo =  ∠ocd 

треугольники dfo u ofc подобны по трем углам 

∠dfo =  ∠ofc = 90° т.к. радиус окружности, проеведенный в точку касания, перпендикулярен касательной 

∠cdo = ∠cof

∠dof = ∠ocd 

у подобных треугольников углы равны,  а  стороны  одного треугольника  пропорциональны  сходственным сторонам другого треугольника.  ⇒ 

do : oc = df : of = of : cf

20 : oc = 16 : 12 = 12 : cf

16 : 12 = 12 : cf

свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

16сf = 12*12

16cf = 144

cf = 144 / 16

cf = 9 (cм), тогда ck = 9 см

bc = bk + ck

bc = 12 + 9 = 21 (cм)

если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

s = ad * bc

s = 28 * 12 = 336 (см²)

(не смогла нарисовать ровные дужки для обозначения равных  углов, поэтому обозначила их цифрами)

 

  пусть  abcd  - прямоугольная  трапеция, в которую вписана окружность с центром в т. о.

вс - основание трапецииad  - основание трапеции∠a  = 90°de  = 16 смae  =  am = bm =  bk  =  ko  =  mo  =  eo  =  r  = 12cм

ad = ae + de

ad = 12 + 16 = 28 (cм)в прямоугольном треугольнике  ode: катет  oe  = 12см  катет  de  = 16 смod  - гипотенузапо теореме пифагораod² =  oe² +  de²od² = 12² + 16² = 400od  =  √400 = 20 (см)  свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности  ⇒  ⇒  ed  = fd  = 16cм  и  ck  =  cf  как отрезки касательных, оd  - биссектриса  ∠adc,  oc  - биссектриса  ∠bcd

сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°  ⇒  ∠bcd  +  ∠adc  = 180°  ⇒  ∠dco  +  ∠cdo  = 180 / 2 = 90 (°)сумма углов треугольника равна 180°  ⇒  ⇒  ∠cod  = 180 - (∠dco  +  ∠cdo  ) = 180 - 90 = 90(°)в прямоугольном треугольнике cod

∠ocd= 180 - 90 -  ∠cdo  ⇒ ∠ocd = 90 - ∠cdo

в прямоугольном треугольнике ofc

∠ocf = 180 - 90 -  ∠cof = 90 -  ∠cof  ⇒  ∠cdo = ∠cof 

в прямоугольном треугольнике dfo

∠dof = 180 - 90 -  ∠cdo = 90 -  ∠cdo =  ∠ocd 

треугольники dfo u ofc подобны по трем углам 

∠dfo =  ∠ofc = 90° т.к. радиус окружности, проеведенный в точку касания, перпендикулярен касательной 

∠cdo = ∠cof

∠dof = ∠ocd 

у подобных треугольников углы равны,  а  стороны  одного треугольника  пропорциональны  сходственным сторонам другого треугольника.  ⇒ 

do : oc = df : of = of : cf

20 : oc = 16 : 12 = 12 : cf

16 : 12 = 12 : cf

свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних

16сf = 12*12

16cf = 144

cf = 144 / 16

cf = 9 (cм), тогда ck = 9 см

bc = bk + ck

bc = 12 + 9 = 21 (cм)

если в прямоугольную трапецию вписана окружность, ее площадь равна произведению оснований.

s = ad * bc

s = 28 * 12 = 336 (см²)

(не смогла нарисовать ровные дужки для обозначения равных  углов, поэтому обозначила их цифрами)