Докажите, что если точка пересечения диагоналей трапеции равноудалена от её сторон, то эта трапеция является параллелограммом

1) пусть abcd - трапеция, вс и ad основания трапеции, o - точка пересечения диагоналей.

2) рассмотрим треугольники boc и aod:

      < вос = < aod (вертикальные)

      < cbo = < oda (накрестлежащие при параллельных прямых ad и bc)

      < bco =  < oad  (накрестлежащие при параллельных прямых ad и bc)

      отсюда, треугольники  boc и aod подобны

3) но высоты в этих треугольниках равны ( по условию) ⇒ коэффициент подобия равен 1, т. е. треугольники равны  ⇒  bc = ad

4) по признаку параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны) четырехугольник является не трапецией, а параллелограммом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

многоуго́льник  —    фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой  ломаной.

четырёхугольник  — это фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

параллелограмм  — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

трапе́ция — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны. параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

равнобедренная трапеция  — этотрапеция  у котрой боковые стороны равны.

  прямоугольнойназывается  трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям  трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется  прямоугольной.

ромбом  называется параллелограмм, у которого все стороны равны. так как  ромб  является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. 1. противоположные стороны  ромбаравны: ab = bc = cd = ad (т. к. все стороны равны).

квадрат  — это прямоугольник, у которого все стороны равны. можно дать и другое  определение квадрата: квадрат  — это ромб, у которого все углы прямые. получается, что  квадратобладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

прямоугольник  - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.прямоугольники  отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.

подобные  треугольники—  треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другоготреугольника. коэффициентом подобия называют число k, равное отношению сходственных сторонподобных треугольников

пропорциональные отрезки  —отрезки, для длин которых выполняется пропорция. отношениемотрезков  ab и cd называется отношение их длин, то есть . например,  отрезки  ab и сd, длины которых равны 2 и 1 см, пропорциональны  отрезкам  и , длины которых равны 3 см и 1.5 см. в самом деле, .

сходственными  сторонами двух подобных многоугольников называются любые две их  стороны, одна из которых переходит в другую при преобразования подобия, переводящем один многоугольник в другой. например,  сходственные стороны  подобных треугольников – это  стороны, лежащие напротив их равных углов.

коэффициентом подобия  называют число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

среднейлинией  треугольника  называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.  средняя линия треугольника  параллельна третьей стороне  треугольника, а длинасредней линии треугольника  равна половине этой стороны.

дано: прямоугольник abcd, p пр. abcd = 32 см, ab больше ad на 4 см.

найти: s пр. abcd

решение: s прямоугольника abcd = ab*ad; p = ab + ad + bc +dc. пусть, x - меньшая сторона, т. е. ad, тогда x + 4 - большая сторона, т.е. ab, а т.к. в прямоугольнике противоположные стороны равны, а p прямоугольника = 32, то следовательно составим уравнение:

( x + (x + 4))*2=32

2x + 2x + 8 = 32

4x = 32-8

x = 24/4

x = 6

т.к. x - ad, то ad = 6 см., а т.к. x +4 - ab, то ab = 6+4= 10 см.

s прямоугольника abcd = ab*ad=10*6=60 см.

ответ: 60 см