Доведіть, що у рівносторонньому трикутнику всі медіани рівні.

якщо трикутник рівносторінній то у нього всі сторони рівні. оскільки всі сторони рівні той медіани між собою рівні

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида saвсд. точка о - центр основания (точка пересечения диагоналей). через диагональ ас проведём секущую плоскость, перпендикулярную к ребру  sв.получим равнобедренный  треугольник акс с углом акс = 120°. точка к лежит на боковом ребре  sв. диагональ ас = 2√2 дм. высота ко лежит против угла в 30°. ко = (2√2/2)*tg30° = √2*(1/√3) =  √2/√3 =  √(2/3) дм. отрезок ко является высотой в треугольнике  sов на боковое ребро  sв из вершины о  прямого угла  sов. отрезок вк =  √(ов²-ок²) =  √(√2)²-(√(2/3))²) =  √(2-(2/3)) = =  √((6-2)/3) =  √(4/3) = 2/√3 дм. боковое ребро  sв находим из пропорции вк/во = во/ sв.(катет и гипотенуза  подобных треугольников).sв =    во²/вк = 2/(2/√3) =  √3 дм. находим апофему а боковой грани: а =  √((√3)²-(2/2)²) =  √(3-1) =  √2 дм. периметр основания р = 4*2 = 8 дм. sбок = (1/2)*р*а = (1/2)*8*√2 = 4√2 дм². so = 2² = 4 дм². s =  sбок +  sо = 4 √2 + 4 = 4(1+√2) дм².

Пусть дана  правильная  треугольная пирамида sabc.центр основания - точка о пересечения медиан треугольника  основания.в боковой грани  sсb проведём апофему  sд.тогда двугранный угол наклона боковой грани к основанию измеряется плоским углом  sдо.расстояние от центра основания до боковой грани - это перпендикуляр  ок   на апофему  sд.высота пирамиды  sо = н = 2/sin(90°-60° ) = 2/0,5 = 4 см.отрезок од = 2/sin60° = 2*2/√3 = 4/√3 см. медиана основания ад (она же и высота и биссектриса угла основания) равна трём отрезкам од по свойству медиан.ад = 3*(4/√3) = 12/√3 = 4√3  см. сторона основания а = ад/cos30° = (4√3)/(√3/2) = 8 см. периметр основания р = 3а = 3*8 = 24 см. апофема а = н/sin60° = 4/(√3/2) = 8/√3 см. боковая поверхность пирамиды равна:   sбок = (1/2)р*а = (1/2)*24*(8/ √3) = 96/√3 = 32√3 см².