Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по перпендикуляру проведённому из середины гипотенузы к одному из катетов.

ответ: это не возможно

объяснение: по скольку из середины гипотенузы он только попадает между двумя катетами

теорема 1.  шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.  следствие 1.  центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.  следствие 2. шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии н = 2r, где н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.  вывод: радиус сферы, вписанной в прямую призму высота которой равна h, равен половине этой высоты.

2.      расмотрим треугольник аод  ивсо     

они подобные по 1 стороне и 2 углам

составим пропорциональности сторон      ад/dc     =во/оа = од/ос    =  k  =  1/3

  составим пропорцианальность  площадей     sаод/sвсo= к= 1/3

                                                                                                                                                    sbco=saoд/3 =  45/3=15