Радиус окружности, описанной около правельного восьмиугольника равен 2 см. найдите радиус вписанной окружности.

r=a /2 sin(360° /2n) -радиус описанной окружности

 

r=a /2 tg(360°/2n) - радиус вписанной окружности

 

2=a/2sin*(22,5°)

a=4sin(22,5°)

тогда

r=4sin(22,5°)/2tg(22,5°)=2sin(22,5°): sin(22,5°/cos(25,5°)=2cos(22,5°)

Угол C = 90 градусов.

Угол AKC = 60 градусов

KC = 4 см

Если угол AKC = 60 градусов, то из Теоремы о Сумме Углов треугольника найдем угол CAK:

CAK = 180 - (90+60) = 30 градусам.

Треугольник CAK - прямоугольный.

По свойству прямоугольного треугольника, напротив угла в 30 градусов (угла CAK), лежит катет равный 1/2 от гипотенузы.

т.е AK = CK * 2 = 8 см.

Если угол A равен 60 градусов, а угол CAK = 30 градусов, то угол KAB треугольника AKB  равен 60 градусов - угол CAK = 60 - 30 = 30 градусов.

Угол AKB = 180 градусов - угол AKC (по теореме о смежных углах) = 180 - 60 = 120 градусов.

Угол KBA треугольника AKB  по теореме о сумме углов треугольника, равен:

180 - (KAB + AKB) = 180 - (120 + 30) = 30 градусам.

У треугольника AKB  углы при основании равны м-у собой.

По этому признаку его можно считать равнобедренным.

Его боковые стороны равны:

AK=KB=8 см.

Сторона треугольника BK равна 8 см.

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).  =>

∠САК = 30°, значит АК - биссектриса угла А.

Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон (свойство).  Тогда СК/КВ = АС/АВ.

Но АВ = 2·АС (так как катет АС лежит против угла В, равного 30°). =>

СК/КВ = АС/(2АС) = 1/2.  =>

СК  = КВ/2 = 12/2 = 6 см.

Или так:

∠АКС = 60° (дано) => ∠САК = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника САК). => ∠ВАК = 30°.  =>

Треугольник АКВ равнобедренный, так как ∠В = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника АВС). и ∠ВАК = 30° (доказано выше).  =>

АК = ВК = 12 см.

В прямоугольном треугольнике АКС угол КАС = 30°, значит

СК = АК/2 = 12/2 = 6см.

Или так:

Пусть СК = х.  =>  ВС = 12+х.

В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 30° по сумме острых углов.

Tg(∠B) = tg30 = AC/BC = √3/3.  =>  

AC =  √3·(12+х)/3.  (1)

В прямоугольном треугольнике АКС угол К равен 60° (дано).

Tg(∠К) = tg60 = AC/CК = √3.  =>  

AC =  х√3.  (2).

Приравняем (1) и (2):  √3·(12+х)/3 = х√3.  => 12+х =  3х.  =>

СК = х = 6 см.